Как доказать, что маляр может покрасить доску в шахматном порядке, учитывая, что он может перейти на соседнюю клетку

Для доказательства того, что маляр может покрасить доску в шахматном порядке, давайте рассмотрим следующее решение:

Пусть у нас есть доска \(n \times m\), где \(n\) - количество строк, а \(m\) - количество столбцов. Чтобы покрасить доску в шахматном порядке, маляр будет перемещаться по клеткам доски и перекрашивать их.

Для начала давайте разделим все клетки доски на два множества: одно множество будет содержать клетки, которые требуется покрасить в черный цвет, а другое множество будет содержать клетки, которые требуется покрасить в белый цвет.

Далее, давайте рассмотрим два случая:

1. Если количество строк или столбцов доски является четным числом (\(n\) и \(m\) четные числа):
В этом случае мы можем просто покрасить поменяв цвет клетки на каждом шаге. Например, мы начинаем с черной клетки, затем перекрашиваем в белый цвет соседнюю клетку, затем снова в черный цвет и так далее. Таким образом все клетки будут покрашены в шахматном порядке.

2. Если количество строк и столбцов доски является нечетным числом (или только одно из них нечетное):
В этом случае, мы покрасим всю доску, кроме одной клетки, в шахматном порядке, используя описанный ранее алгоритм. Затем мы выберем одну клетку и перекрасим ее в противоположный цвет. Таким образом, все клетки, включая добавленную, будут покрашены в шахматном порядке.

Таким образом, мы показали, что маляр может покрасить доску в шахматном порядке в любом случае. Доказательство основано на том, что при любом заданном количестве строк и столбцов доски, мы можем применить описанный алгоритм для достижения требуемого результата.