Как доказать, что когда разность двух простых чисел равна 2, сумма этих чисел делится на 12, при условии, что меньшее

Чтобы доказать, что когда разность двух простых чисел равна 2, сумма этих чисел делится на 12, при условии, что меньшее число является большим, мы можем использовать метод математического доказательства.

Допустим, у нас есть два простых числа \(p\) и \(q\), где \(p > q\) и их разность равна 2: \(p - q = 2\). Нам нужно показать, что сумма этих чисел делится на 12.

Вначале, давайте проанализируем, какие значения может принимать \(p\) и \(q\) при данном условии. Чтобы разность между простыми числами была равна 2, \(p\) должно быть следующим простым числом после \(q\). Например, если \(q\) равно 5, то \(p\) должно быть равно 7. Это следует из определения простых чисел: они не имеют делителей, кроме 1 и самих себя.

Теперь давайте взглянем на сумму этих чисел: \(p + q\). Мы хотим показать, что эта сумма делится на 12.

Чтобы доказать, что сумма делится на 12, мы можем воспользоваться свойствами делимости. Число \(n\) делится на 12, если оно делится и на 4, и на 3.

Рассмотрим первое свойство: деление на 4. Если число делится на 4, то остаток от деления этого числа на 4 будет равен 0. Давайте проверим, выполняется ли это условие для нашей суммы \(p+q\).

Поскольку \(p\) и \(q\) являются простыми числами, и их разность равна 2, то их комбинация \(p+q\) будет иметь следующий вид:

\(p + q = (q + 2) + q = 2q + 2\)

Теперь давайте разобъем \(2q + 2\) на две части, чтобы узнать, делится ли сумма нацело на 4:

\(2q + 2 = 2(q + 1)\)

Мы видим, что \(2(q + 1)\) является произведением 2 и некоторого числа, а это значит, что оно делится на 4 без остатка.

Теперь давайте рассмотрим второе свойство: деление на 3. Если число делится на 3, то сумма его цифр также должна делиться на 3. Разложим наши числа \(p\) и \(q\) на суммы их цифр и посмотрим, выполняется ли условие деления на 3 для суммы:

Разложим \(p\) и \(q\) на цифры:

\(p = a + b\)
\(q = c + d\)

Теперь рассмотрим сумму \(p+q\):

\(p + q = (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d)\)

Мы видим, что сумма цифр обоих чисел разбивается на две группы. Если мы посмотрим на условие, что меньшее число является большим, то это значит, что \(a > c\) и \(b > d\).

Рассмотрим сумму \(a + c\). Она может быть записана в виде:

\(a + c = c + a\)

Как видите, порядок слагаемых не важен, поэтому мы можем переставить местами \(a\) и \(c\). Это означает, что \(a + c\) и \(b + d\) на самом деле имеют одинаковую сумму цифр. И если сумма цифр \(a+c\) делится нацело на 3, то также будет делиться нацело и сумма \(b+d\).

Таким образом, сумма \(p+q\) будет делиться и на 4 и на 3, что означает, что она делится на 12.

Итак, мы доказали, что если разность двух простых чисел равна 2, сумма этих чисел делится на 12, при условии, что меньшее число является большим.