Как доказать, что каждый ученик посетил хотя бы один из трех уроков, если в классе 35 учеников и за год они посетили

Для доказательства того, что каждый ученик посетил хотя бы один из трех уроков, воспользуемся принципом Дирихле, который гласит, что если \( n + 1 \) объектов распределены по \( n \) контейнерам, то в одном из контейнеров будет не менее одного объекта.

В данной задаче у нас есть 35 учеников и 3 урока. Воспользуемся принципом Дирихле и предположим обратное: каждый ученик посетил меньше одного урока. Это означает, что каждый из 35 учеников не посетил какой-либо из этих трех уроков.

Теперь давайте подсчитаем общее количество уроков, которые могли посетить ученики. Мы знаем, что за год они посетили не менее 67 уроков математики из 100. Предположим, что все ученики выбрали посещать только уроки математики. В таком случае, каждый ученик мог посетить не более 67 уроков.

Теперь посчитаем общее количество уроков, которые все ученики вместе могли посетить. У нас есть 35 учеников, каждый из которых мог посетить не более 67 уроков. Следовательно, максимальное количество уроков, которые все ученики вместе могли посетить, равно \( 35 \times 67 = 2345 \).

Теперь мы имеем информацию о максимально возможном количестве уроков, которые могли посетить все ученики, и общем количестве уроков, которые были проведены (100 уроков математики).

Если общее количество уроков, которые были проведены, меньше максимально возможного количества уроков, которые могли посетить все ученики, это означает, что среди посещенных уроков математики остались как минимум три урока, которые были посещены только некоторыми учениками.

Таким образом, наше предположение о том, что каждый ученик посетил меньше одного урока, было неверным. Следовательно, можно сделать вывод, что каждый ученик посетил хотя бы один из трех уроков.