Как доказать, что данное уравнение х2 + 4х + 4у2 – 16y – 4 = 0 определяет эллипс? Как найти полуоси, координаты

Чтобы доказать, что данное уравнение \[x^2 + 4x + 4y^2 - 16y - 4 = 0\] определяет эллипс, нам нужно привести его к каноническому уравнению эллипса, то есть уравнению вида \[\frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1\], где (h, k) - координаты центра эллипса, a и b - полуоси эллипса.

Давайте посмотрим на данное уравнение пошагово:

1. Сначала добавим и вычтем некоторое число внутри скобок, чтобы привести квадратичные выражения к полному квадрату. В нашем случае, добавим 4 в выражение \(x^2 + 4x\) и 4 в выражение \(4y^2 - 16y\):

\[x^2 + 4x + 4 - 4 + 4y^2 - 16y - 4 = 0\]

2. Группируем соответствующие члены:

\[(x^2 + 4x + 4) + 4(y^2 - 4y) - 12 = 0\]

3. Факторизуем квадратные трехчлены:

\[(x + 2)^2 + 4(y - 2)^2 - 12 = 0\]

4. Для удобства дальнейшего анализа, перепишем уравнение следующим образом, поделив его на -12:

\[\frac{{(x + 2)^2}}{{6}} + \frac{{(y - 2)^2}}{{3}} - 1 = 0\]

Теперь мы получили уравнение в канонической форме эллипса, где (h, k) = (-2, 2) - координаты центра эллипса, а квадраты полуосей равны \(a^2 = 6\) и \(b^2 = 3\).

Поэтому, полуоси эллипса равны \(a = \sqrt{6}\) и \(b = \sqrt{3}\).

Чтобы найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, нам понадобится следующая формула:

\[c = \sqrt{a^2 - b^2}\]

где c - расстояние от центра эллипса до одного из фокусов.

Подставляя значения полуосей в формулу, получим:

\[c = \sqrt{6 - 3} = \sqrt{3}\]

Так как центр эллипса находится в координатах (-2, 2), координаты фокусов будут (-2 + c, 2) и (-2 - c, 2).

Таким образом, координаты фокусов составляют \((-2 + \sqrt{3}, 2)\) и \((-2 - \sqrt{3}, 2)\).

Наконец, чтобы найти уравнения директрис, мы используем следующую формулу:

\[d = \frac{{a^2}}{{c}}\]

где d - расстояние от центра эллипса до одной из директрис.

Подставляя значения полуосей и c в формулу, получаем:

\[d = \frac{{6}}{{\sqrt{3}}} = 2\sqrt{3}\]

Так как центр эллипса находится в координатах (-2, 2), уравнения директрис будут \(y = 2 + d\) и \(y = 2 - d\).

Таким образом, уравнения директрис имеют вид \(y = 2 + 2\sqrt{3}\) и \(y = 2 - 2\sqrt{3}\).

Вот так мы доказали, что данное уравнение задает эллипс, а также нашли его координаты центра, полуоси, фокусы и уравнения директрис.