Известно, что в треугольнике fkm с прямым углом в точке f гипотенуза km равна 24, а площадь треугольника равна

Очень хорошо! Давайте решим эту задачу.

Итак, у нас есть треугольник \(fkm\) с прямым углом в точке \(f\), где гипотенуза \(km\) равна 24, а площадь треугольника равна 72.

Для начала, нужно найти длины катетов треугольника. Мы знаем, что площадь треугольника можно найти по формуле:

\[
Площадь = \frac{1}{2} \times Катет_1 \times Катет_2
\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[
72 = \frac{1}{2} \times Катет_1 \times Катет_2
\]

Теперь мы знаем, что произведение катетов равно 144 (2 умножаем на 72).

Далее, по теореме Пифагора, мы знаем, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, это:

\[
Катет_1^2 + Катет_2^2 = Гипотенуза^2
\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[
Катет_1^2 + Катет_2^2 = 24^2
\]

То есть:

\[
Катет_1^2 + Катет_2^2 = 576
\]

Теперь у нас есть две уравнения:

\[
\begin{align*}
Катет_1 \times Катет_2 &= 144 \\
Катет_1^2 + Катет_2^2 &= 576
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения катетов. Для этого давайте воспользуемся методом подстановки или методом сложения/вычитания.

Обозначим катеты за \(x\) и \(y\), соответственно.

Используя метод подстановки, мы можем выразить \(x\) через \(y\) из первого уравнения:

\[
x = \frac{144}{y}
\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[
\left(\frac{144}{y}\right)^2 + y^2 = 576
\]

Раскроем скобки:

\[
\frac{144^2}{y^2} + y^2 = 576
\]

Умножим обе части уравнения на \(y^2\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
144^2 + y^4 = 576y^2
\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(y^2\):

\[
y^4 - 576y^2 + 144^2 = 0
\]

Мы можем решить это уравнение с помощью метода подстановки или факторизации, но можно сразу заметить, что это уравнение является квадратным относительно \(y^2\). Мы знаем, что дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты этого уравнения.

В нашем случае, уравнение \(y^4 - 576y^2 + 144^2 = 0\) является квадратным относительно \(y^2\), где \(a = 1\), \(b = -576\) и \(c = 144^2\). Вычислим дискриминант:

\[
D = (-576)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144^2
\]

\[
D = 331776 - 82944 = 248832
\]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два вещественных корня.

Поэтому \(y^2\) может быть найдено с помощью квадратного корня из дискриминанта:

\[
y^2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

\[
y^2 = \frac{576 \pm \sqrt{248832}}{2}
\]

\[
y^2 = \frac{576 \pm 498.83}{2}
\]

Теперь у нас есть два возможных значения \(y^2\):

\[
y_1^2 = \frac{576 + 498.83}{2} \approx 537.92
\]

\[
y_2^2 = \frac{576 - 498.83}{2} \approx 37.08
\]

Так как \(y\) представляет собой длину катета треугольника, мы можем отбросить отрицательное значение. Оставим только положительное значение:

\[
y \approx \sqrt{37.08} \approx 6.09
\]

Теперь мы можем использовать это значение для нахождения \(x\):

\[
x = \frac{144}{y} = \frac{144}{6.09} \approx 23.61
\]

Таким образом, мы получили значения катетов: \(x \approx 23.61\) и \(y \approx 6.09\).

Теперь нам нужно найти значения углов \(\angle k\) и \(\angle m\).

Рассмотрим угол \(\angle k\). Так как у нас есть прямой угол в точке \(f\), то угол \(\angle k\) будет равным \(90^\circ\).

Рассмотрим угол \(\angle m\). У нас есть два известных катета \(x\) и \(y\). Мы можем использовать тангенс угла для нахождения его значения:

\[
\tan(\angle m) = \frac{y}{x}
\]

\[
\angle m = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)
\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[
\angle m = \arctan\left(\frac{6.09}{23.61}\right) \approx 14.77^\circ
\]

Таким образом, значения углов \(\angle k\) и \(\angle m\) равны: \(90^\circ\) и \(14.77^\circ\), соответственно.

Ответ: \(90; 14.77\) (углы, упорядоченные по возрастанию через точку с запятой без пробелов).