Известна функция f (x)=корень-x^2+6x-5. Нужно найти:
1. Область допустимых значений функции.
2. Интервалы возрастания и убывания функции.
3. Максимальное и минимальное значения функции на заданном отрезке.
1. Область допустимых значений функции.
2. Интервалы возрастания и убывания функции.
3. Максимальное и минимальное значения функции на заданном отрезке.
Загадочный_Магнат_3013
Хорошо, давайте решим задачу по порядку.
1. Область допустимых значений функции \(f(x)\) - это множество значений, которые переменная \(x\) может принимать, чтобы функция оставалась определённой и имела смысл. В данном случае у нас функция с корнем и квадратом, поэтому мы должны найти значения переменной \(x\), при которых выражения под корнем и внутри квадратного знака неотрицательны.
Давайте найдём эти значения. Исходная функция \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 5}\).
Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Найдем его корни:
\(-x^2 + 6x - 5 \geq 0\).
Чтобы решить это неравенство, найдем корни уравнения:
\(-x^2 + 6x - 5 = 0\).
Используя квадратное уравнение \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), найдем корни:
\(x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(-1)(-5)}}{2(-1)}\).
Вычисляя это выражение, мы получаем:
\(x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{-2}\).
\(x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{-2}\).
\(x_{1,2} = \frac{-6 \pm 4}{-2}\).
\(x_1 = \frac{-6 + 4}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1\).
\(x_2 = \frac{-6 - 4}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5\).
Теперь мы знаем, что функция \(f(x)\) определена, когда \(-\infty \leq x \leq 1\) и \(x \geq 5\). Следовательно, область допустимых значений функции - это интервал \((- \infty, 1] \cup [5, +\infty)\).
2. Интервалы возрастания и убывания функции можно найти, проанализировав производную функции.
Для начала найдём производную функции \(f"(x)\). Чтобы найти производную, возьмем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правило дифференцирования сложной функции:
\(f"(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{-x^2 + 6x - 5}) = \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 6x - 5}} \cdot \frac{d}{dx}(-x^2 + 6x - 5)\).
Вычислим производную выражения \(-x^2 + 6x - 5\):
\(\frac{d}{dx} (-x^2 + 6x - 5) = -2x + 6\).
Теперь подставим это значение в формулу для \(f"(x)\):
\(f"(x) = \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 6x - 5}} \cdot (-2x + 6)\).
Для определения интервалов возрастания и убывания функции необходимо найти значения \(x\), при которых \(f"(x) > 0\) и \(f"(x) < 0\).
Для этого решим неравенство \(f"(x) > 0\):
\(\frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 6x - 5}} \cdot (-2x + 6) > 0\).
Учитывая, что \(\frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 6x - 5}} > 0\) всегда (так как корень всегда положителен), мы можем записать:
\(-2x + 6 > 0\).
Решим это неравенство:
\(-2x > -6\).
Умножим обе стороны на \(-1\) и поменяем направление неравенства:
\(2x < 6\).
\(x < 3\).
Таким образом, функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((-\infty, 3)\).
Теперь решим неравенство \(f"(x) < 0\):
\(-2x + 6 < 0\).
Решим это неравенство:
\(-2x < -6\).
Умножим обе стороны на \(-1\) и поменяем направление неравенства:
\(2x > 6\).
\(x > 3\).
Следовательно, функция \(f(x)\) убывает на интервале \((3, +\infty)\).
3. Чтобы найти максимальное и минимальное значения функции \(f(x)\) на заданном отрезке, необходимо проанализировать значения функции на краях отрезка и в критических точках.
На отрезке \([- \infty, 1]\) значения функции \(f(x)\) будут достигать своего максимального значения на его концах. Давайте подставим значения \(x=-\infty\) и \(x=1\) и найдём соответствующие значения функции \(f(x)\):
\(f(-\infty) = \sqrt{-(-\infty)^2 + 6(-\infty) - 5}\). С учётом того, что \(-\infty\) - это бесконечно малое значение, корень равен нулю.
\(f(-\infty) = \sqrt{0} = 0\).
\(f(1) = \sqrt{-1^2 + 6 \cdot 1 - 5} = \sqrt{-1 + 6 - 5} = \sqrt{0} = 0\).
Таким образом, на отрезке \([- \infty, 1]\) максимальное значение функции \(f(x)\) равно 0.
На отрезке \([5, +\infty)\) значения функции \(f(x)\) также будут достигать своего максимального значения на его концах. Подставим значения \(x=5\) и \(x=+\infty\) и найдем соответствующие значения функции \(f(x)\):
\(f(5) = \sqrt{-5^2 + 6 \cdot 5 - 5} = \sqrt{-25 + 30 - 5} = \sqrt{0} = 0\).
\(f(+\infty) = \sqrt{-(+\infty)^2 + 6(+\infty) - 5}\). С учётом того, что \(+\infty\) - это бесконечно большое значение, корень также равен бесконечно большому значению.
\(f(+\infty) = \sqrt{+\infty}\).
Таким образом, на отрезке \([5, +\infty)\) максимальное значение функции \(f(x)\) является бесконечно большим.
Итак, на заданном отрезке \([- \infty, 1] \cup [5, +\infty)\) минимальное значение функции \(f(x)\) равно 0, а максимальное значение является бесконечно большим.
1. Область допустимых значений функции \(f(x)\) - это множество значений, которые переменная \(x\) может принимать, чтобы функция оставалась определённой и имела смысл. В данном случае у нас функция с корнем и квадратом, поэтому мы должны найти значения переменной \(x\), при которых выражения под корнем и внутри квадратного знака неотрицательны.
Давайте найдём эти значения. Исходная функция \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 5}\).
Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Найдем его корни:
\(-x^2 + 6x - 5 \geq 0\).
Чтобы решить это неравенство, найдем корни уравнения:
\(-x^2 + 6x - 5 = 0\).
Используя квадратное уравнение \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), найдем корни:
\(x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(-1)(-5)}}{2(-1)}\).
Вычисляя это выражение, мы получаем:
\(x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{-2}\).
\(x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{-2}\).
\(x_{1,2} = \frac{-6 \pm 4}{-2}\).
\(x_1 = \frac{-6 + 4}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1\).
\(x_2 = \frac{-6 - 4}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5\).
Теперь мы знаем, что функция \(f(x)\) определена, когда \(-\infty \leq x \leq 1\) и \(x \geq 5\). Следовательно, область допустимых значений функции - это интервал \((- \infty, 1] \cup [5, +\infty)\).
2. Интервалы возрастания и убывания функции можно найти, проанализировав производную функции.
Для начала найдём производную функции \(f"(x)\). Чтобы найти производную, возьмем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правило дифференцирования сложной функции:
\(f"(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{-x^2 + 6x - 5}) = \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 6x - 5}} \cdot \frac{d}{dx}(-x^2 + 6x - 5)\).
Вычислим производную выражения \(-x^2 + 6x - 5\):
\(\frac{d}{dx} (-x^2 + 6x - 5) = -2x + 6\).
Теперь подставим это значение в формулу для \(f"(x)\):
\(f"(x) = \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 6x - 5}} \cdot (-2x + 6)\).
Для определения интервалов возрастания и убывания функции необходимо найти значения \(x\), при которых \(f"(x) > 0\) и \(f"(x) < 0\).
Для этого решим неравенство \(f"(x) > 0\):
\(\frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 6x - 5}} \cdot (-2x + 6) > 0\).
Учитывая, что \(\frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 6x - 5}} > 0\) всегда (так как корень всегда положителен), мы можем записать:
\(-2x + 6 > 0\).
Решим это неравенство:
\(-2x > -6\).
Умножим обе стороны на \(-1\) и поменяем направление неравенства:
\(2x < 6\).
\(x < 3\).
Таким образом, функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((-\infty, 3)\).
Теперь решим неравенство \(f"(x) < 0\):
\(-2x + 6 < 0\).
Решим это неравенство:
\(-2x < -6\).
Умножим обе стороны на \(-1\) и поменяем направление неравенства:
\(2x > 6\).
\(x > 3\).
Следовательно, функция \(f(x)\) убывает на интервале \((3, +\infty)\).
3. Чтобы найти максимальное и минимальное значения функции \(f(x)\) на заданном отрезке, необходимо проанализировать значения функции на краях отрезка и в критических точках.
На отрезке \([- \infty, 1]\) значения функции \(f(x)\) будут достигать своего максимального значения на его концах. Давайте подставим значения \(x=-\infty\) и \(x=1\) и найдём соответствующие значения функции \(f(x)\):
\(f(-\infty) = \sqrt{-(-\infty)^2 + 6(-\infty) - 5}\). С учётом того, что \(-\infty\) - это бесконечно малое значение, корень равен нулю.
\(f(-\infty) = \sqrt{0} = 0\).
\(f(1) = \sqrt{-1^2 + 6 \cdot 1 - 5} = \sqrt{-1 + 6 - 5} = \sqrt{0} = 0\).
Таким образом, на отрезке \([- \infty, 1]\) максимальное значение функции \(f(x)\) равно 0.
На отрезке \([5, +\infty)\) значения функции \(f(x)\) также будут достигать своего максимального значения на его концах. Подставим значения \(x=5\) и \(x=+\infty\) и найдем соответствующие значения функции \(f(x)\):
\(f(5) = \sqrt{-5^2 + 6 \cdot 5 - 5} = \sqrt{-25 + 30 - 5} = \sqrt{0} = 0\).
\(f(+\infty) = \sqrt{-(+\infty)^2 + 6(+\infty) - 5}\). С учётом того, что \(+\infty\) - это бесконечно большое значение, корень также равен бесконечно большому значению.
\(f(+\infty) = \sqrt{+\infty}\).
Таким образом, на отрезке \([5, +\infty)\) максимальное значение функции \(f(x)\) является бесконечно большим.
Итак, на заданном отрезке \([- \infty, 1] \cup [5, +\infty)\) минимальное значение функции \(f(x)\) равно 0, а максимальное значение является бесконечно большим.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
