Избегая повторений и слишком прямолинейных перефразировок, вот мои предложения: а) Каков объем цилиндра, если в него

Хорошо, давайте начнем с задачи а.

а) Чтобы найти объем цилиндра, вписанного в треугольную призму ABCA1B1C1, необходимо определить площадь основания треугольной призмы и умножить ее на высоту цилиндра.

Поскольку стороны AB и AC основания треугольной призмы равны, площадь ее основания можно найти, используя формулу для площади прямоугольного треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC\).

Далее, площадь основания треугольной призмы равна площади основания цилиндра, поэтому площадь основания цилиндра равна \(S\).

Высоту цилиндра мы не знаем, поэтому обозначим ее буквой h. Объем цилиндра вычисляется по формуле: \(V = S \cdot h\).

Теперь нам нужно найти высоту цилиндра. Для этого воспользуемся свойством треугольника и проведем высоту, опущенную из вершины A1 на основание BC. Поскольку треугольник A1BC является прямоугольным, можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину высоты.

Длина гипотенузы треугольника A1BC равна длине стороны BC, т.е. 2m. А также мы знаем, что стороны AB и AC равны. Обозначим их длину через a. Тогда длина катетов треугольника A1BC будет равна \(\frac{a}{2}\).

Используем теорему Пифагора: \((\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = (2m)^2\).

Раскрывая скобки и выполняя простые алгебраические вычисления, получим: \(\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = 4m^2\).

Сокращаем дроби и объединяем слагаемые: \(\frac{2a^2}{4} = 4m^2\).

Далее, сокращаем дробь: \(\frac{a^2}{2} = 4m^2\).

Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя: \(a^2 = 8m^2\).

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: \(a = \sqrt{8m^2}\).

Упрощаем квадратный корень: \(a = 2m\sqrt{2}\).

Теперь у нас есть длина стороны a, которая является радиусом основания цилиндра.

Подставим полученное значение радиуса и площадь основания цилиндра в формулу для объема цилиндра: \(V = \pi \cdot (2m\sqrt{2})^2 \cdot h\).

Упрощая выражение, получим: \(V = 8\pi m^2h\).

Таким образом, объем цилиндра равен \(8\pi m^2h\).

Теперь перейдем к задаче б.

б) Чтобы найти угол между плоскостью основания цилиндра и диагональю грани ВСС1В1, мы можем использовать понятие скалярного произведения векторов.

Обозначим вектор, параллельный плоскости основания цилиндра, как \(\vec{v_1}\), и вектор, параллельный диагонали грани ВСС1В1, как \(\vec{v_2}\).

Тогда скалярное произведение векторов \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\) можно вычислить по формуле: \(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = |\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}| \cdot \cos(\alpha)\), где \(\alpha\) - угол между векторами \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\).

Если векторы \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\) являются единичными векторами, то скалярное произведение будет равно просто \(\cos(\alpha)\).

Определить, являются ли векторы \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\) единичными, мы можем, найдя их длины.

Длина вектора \(\vec{v_1}\) равна радиусу цилиндра, т.е. \(|\vec{v_1}| = 2m\).

Длина вектора \(\vec{v_2}\) можно найти, используя известную сторону грани ВСС1В1, равную 2m, и угол а между диагональю и плоскостью основания цилиндра.

Аналогично, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ВСС1В1 и получить: \(|\vec{v_2}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}\).

Теперь мы можем найти косинус угла \(\alpha\) с помощью скалярного произведения: \(\cos(\alpha) = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}\).

Подставив значения в уравнение, получим: \(\cos(\alpha) = \frac{2m \cdot 2\sqrt{2}}{2m \cdot 2\sqrt{2}}\).

Упрощая выражение, получим: \(\cos(\alpha) = 1\).

Отсюда следует, что угол \(\alpha\) между плоскостью основания цилиндра и диагональю грани ВСС1В1 равен 0 градусов.

Таким образом, угол между плоскостью основания цилиндра и диагональю грани ВСС1В1, которая наклонена к плоскости основания под углом а(альфа), равен 0 градусов.