Из пунктов a и b одновременно выехали велосипедист и мотоциклист, двигаясь навстречу друг другу. Когда они встретились

и б?

Давайте начнем с построения уравнений:
Пусть расстояние между пунктами a и b равно \(d\) километрам.

По условию задачи, когда велосипедист и мотоциклист встретились, мотоциклист проехал на 15 км больше, чем велосипедист. Это означает, что велосипедист проехал расстояние \(d-15\) километров, а мотоциклист проехал расстояние \(d+15\) километров.

После встречи велосипедист потратил на дорогу в 9 раз больше времени, чем мотоциклист. Это означает, что время, потраченное велосипедистом на путь от пункта a до встречи, равно 9 разам времени, потраченному мотоциклистом на путь от пункта b до встречи.

Теперь давайте рассмотрим скорости велосипедиста и мотоциклиста. Пусть скорость велосипедиста равна \(v_1\) (в км/ч), а скорость мотоциклиста равна \(v_2\) (в км/ч).

Мы знаем, что скорость равна отношению расстояния к времени. Таким образом, время, потраченное велосипедистом на путь от пункта a до встречи, можно выразить как \(\frac{{d-15}}{{v_1}}\), и время, потраченное мотоциклистом на путь от пункта b до встречи, можно выразить как \(\frac{{d+15}}{{v_2}}\).

Теперь у нас есть два уравнения, основанных на времени:
\(\frac{{d-15}}{{v_1}} = 9 \cdot \frac{{d+15}}{{v_2}}\) (1)
И
\(\frac{{d+15}}{{v_2}} + \frac{{d-15}}{{v_1}} = \frac{d}{{v_1}} + \frac{d}{{v_2}}\) (2)

Решим это уравнение системы методом подстановки.
Из уравнения (1) выразим \(d\) через \(v_1\) и \(v_2\):
\(d = \frac{{9v_1v_2}}{{v_2 - 9v_1}}\) (3)

Подставим \(d\) из уравнения (3) в уравнение (2):
\(\frac{{\frac{{9v_1v_2}}{{v_2 - 9v_1}} + 15}}{{v_2}} + \frac{{\frac{{9v_1v_2}}{{v_2 - 9v_1}} - 15}}{{v_1}} = \frac{{\frac{{9v_1v_2}}{{v_2 - 9v_1}}}}{{v_1}} + \frac{{\frac{{9v_1v_2}}{{v_2 - 9v_1}}}}{{v_2}}\)

Упростим это уравнение:
\(\frac{{9v_1v_2 + 15v_2 - 135v_1 - 135}}{{v_2}} + \frac{{9v_1v_2 - 15v_1 - 135v_2 + 135}}{{v_1}} = \frac{{9v_1v_2}}{{v_1}} + \frac{{9v_1v_2}}{{v_2}}\)

Далее, упростим получившиеся выражения:
\(\frac{{24v_2 - 135v_1 - 135}}{{v_2}} + \frac{{24v_1 - 135v_2 + 135}}{{v_1}} = 9v_2 + 9v_1\)

Разделим на 9:
\(\frac{{8v_2 - 45v_1 - 15}}{{v_2}} + \frac{{8v_1 - 45v_2 + 15}}{{v_1}} = v_2 + v_1\)

Перенесем члены с \(v_1\) влево, а с \(v_2\) - вправо:
\(\frac{{8v_2 - 45v_1}}{{v_2}} + \frac{{8v_1 - 45v_2}}{{v_1}} = v_2 + v_1 - \frac{{15}}{{v_1}} + \frac{{15}}{{v_2}}\)

Теперь объединим члены в общий знаменатель:
\(\frac{{8v_2 - 45v_1}}{{v_2}} + \frac{{8v_1 - 45v_2}}{{v_1}} = \frac{{v_2v_1 - 15v_1 + 15v_2 + v_1v_2}}{{v_1v_2}}\)

Упростим это уравнение:
\(\frac{{8v_2 - 45v_1}}{{v_2}} + \frac{{8v_1 - 45v_2}}{{v_1}} = \frac{{v_1v_2 + v_2v_1 - 15v_1 + 15v_2}}{{v_1v_2}}\)

Сократим общий знаменатель и перегруппируем члены:
\(\frac{{8v_2 - 45v_1}}{{v_2}} + \frac{{8v_1 - 45v_2}}{{v_1}} = \frac{{15}}{{v_1v_2}}\)

Из уравнения (1) выразим \(d\) через \(v_1\) и \(v_2\):
\(d = \frac{{9v_1v_2}}{{v_2 - 9v_1}}\) (4)

Подставим \(d\) из уравнения (4) в уравнение (2):
\(\frac{{\frac{{9v_1v_2}}{{v_2 - 9v_1}} + 15}}{{v_2}} + \frac{{\frac{{9v_1v_2}}{{v_2 - 9v_1}} - 15}}{{v_1}} = \frac{{\frac{{9v_1v_2}}{{v_2 - 9v_1}}}}{{v_1}} + \frac{{\frac{{9v_1v_2}}{{v_2 - 9v_1}}}}{{v_2}}\)

Упростим это уравнение:
\(\frac{{9v_1v_2 + 15(v_2 - 9v_1)}}{{v_2(v_2 - 9v_1)}} + \frac{{9v_1v_2 - 15(v_2 - 9v_1)}}{{v_1(v_2 - 9v_1)}} = \frac{{9v_1v_2}}{{v_1(v_2 - 9v_1)}} + \frac{{9v_1v_2}}{{v_2(v_2 - 9v_1)}}\)

Упростим дальше:
\(\frac{{9v_1v_2 + 15v_2 - 135v_1}}{{v_2(v_2 - 9v_1)}} + \frac{{9v_1v_2 - 15v_2 + 135v_1}}{{v_1(v_2 - 9v_1)}} = \frac{{9v_1v_2}}{{v_1(v_2 - 9v_1)}} + \frac{{9v_1v_2}}{{v_2(v_2 - 9v_1)}}\)

Разделим на 9:
\(\frac{{v_1v_2 + 5v_2 - 15v_1}}{{v_2(v_2 - 9v_1)}} + \frac{{v_1v_2 - 5v_2 + 15v_1}}{{v_1(v_2 - 9v_1)}} = \frac{{v_1v_2}}{{v_1(v_2 - 9v_1)}} + \frac{{v_1v_2}}{{v_2(v_2 - 9v_1)}}\)

Перенесем члены с \(v_1\) влево, а с \(v_2\) - вправо:
\(\frac{{v_2v_1 + 5v_2 - 15v_1}}{{v_2(v_2 - 9v_1)}} + \frac{{v_1v_2 - 5v_2 + 15v_1}}{{v_1(v_2 - 9v_1)}} = \frac{{v_1v_2}}{{v_2(v_2 - 9v_1)}} + \frac{{v_1v_2}}{{v_1(v_2 - 9v_1)}}\)

Теперь объединим члены в общий знаменатель:
\(\frac{{v_2v_1 + 5v_2 - 15v_1}}{{v_2(v_2 - 9v_1)}} + \frac{{v_1v_2 - 5v_2 + 15v_1}}{{v_1(v_2 - 9v_1)}} = \frac{{v_1v_2v_1 + v_1v_2v_2 - 9v_1^2v_2 + v_1v_2v_1 + v_1v_2v_2 - 9v_1v_2^2}}{{v_1v_2(v_2 - 9v_1)}}\)

Упростим это уравнение:
\(\frac{{v_2v_1 + 5v_2 - 15v_1}}{{v_2(v_2 - 9v_1)}} + \frac{{v_1v_2 - 5v_2 + 15v_1}}{{v_1(v_2 - 9v_1)}} = \frac{{2v_1v_2(v_1 + v_2) - 9v_1v_2(v_1 + v_2)}}{{v_1v_2(v_2 - 9v_1)}}\)

Сократим общий знаменатель и перегруппируем члены:
\(\frac{{v_2v_1 + 5v_2 - 15v_1}}{{v_2 - 9v_1}} + \frac{{v_1v_2 - 5v_2 + 15v_1}}{{v_1}} = \frac{{2v_1v_2(v_1 + v_2) - 9v_1v_2(v_1 + v_2)}}{{v_2 - 9v_1}}\)

Если упростить правую часть уравнения, получим:
\(\frac{{v_2v_1 + 5v_2 - 15v_1}}{{v_2 - 9v_1}} + \frac{{v_1v_2 - 5v_2 + 15v_1}}{{v_1}} = v_1v_2(v_1 + v_2)\)

Теперь объединим члены в одну дробь:
\(\frac{{v_2v_1 + 5v_2 - 15v_1 + v_1v_2 - 5v_2 + 15v_1}}{{v_2 - 9v_1}} = v_1v_2(v_1 + v_2)\)

Упростим числитель дроби:
\(\frac{{2v_2v_1}}{{v_2 - 9v_1}} = v_1v_2(v_1 + v_2)\)

Сократим общий множитель:
\(\frac{{2v_1}}{{v_2 - 9v_1}} = v_1(v_1 + v_2)\)

Раскроем скобки:
\(\frac{{2v_1}}{{v_2 - 9v_1}} = v_1^2 + v_1v_2\)

Переместим все члены влево от знака равенства:
\(v_1^2 + v_1v_2 - \frac{{2v_1}}{{v_2 - 9v_1}} = 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение:
\(v_1^2 + v_1v_2 - \frac{{2v_1}}{{v_2 - 9v_1}} = 0\)

Чтобы решить это уравнение относительно \(v_1\), мы можем использовать квадратное уравнение в форме \(ax^2 + bx + c = 0\):
\(v_1^2 + v_1v_2 - \frac{{2v_1}}{{v_2 - 9v_1}} = 0\)

Теперь давайте решим это уравнение:
\[v_1 = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}\]

Подставим значения:
\[v_1 = \frac{{-v_2 \pm \sqrt{{v_2^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{{2v_1}}{{v_2 - 9v_1}}\right)}}}}{2 \cdot 1}\]

Дальше можно продолжить аналитическое решение уравнения для \(v_1\) и \(v_2\), но это будет сложно визуализировать и понять для школьника. Поэтому я могу предложить вам использовать численные методы или приближенные значения для \(v_1\) и \(v_2\), чтобы найти значение для \(d\) (пути между пунктами a и b) включая взаимное перемещение велосипедиста и мотоциклиста. Какой вариант вас интересует?