Из 20 участников международной конференции, 15 владеют языком. Какова вероятность того, что из случайно выбранных

Чтобы решить данную задачу, мы должны определить вероятность того, что из случайно выбранных 5 участников конференции 3 будут владеть языком.

Для этого нам необходимо знать общее количество возможных комбинаций выбора 5 участников из 20-ти, а также количество комбинаций выбора 3 участников из 15-ти, владеющих языком.

Общее количество комбинаций для выбора 5 участников из 20 можно вычислить с помощью формулы сочетаний:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

где \(C(n, k)\) обозначает количество сочетаний из \(n\) по \(k\), а \(n!\) - факториал числа \(n\).

В данном случае, нам необходимо найти количество комбинаций для выбора 5 участников из 20, что можно записать как \(C(20, 5)\).

Рассчитаем это значение:

\[
C(20, 5) = \frac{{20!}}{{5! \cdot (20-5)!}} = \frac{{20!}}{{5! \cdot 15!}}
\]

Таким образом, общее количество комбинаций выбора 5 участников из 20 равно \(\frac{{20!}}{{5! \cdot 15!}}\).

Теперь мы должны найти количество комбинаций для выбора 3 участников из 15, владеющих языком. Это значение можно записать как \(C(15, 3)\).

Рассчитаем его:

\[
C(15, 3) = \frac{{15!}}{{3! \cdot (15-3)!}} = \frac{{15!}}{{3! \cdot 12!}}
\]

Таким образом, количество комбинаций выбора 3 участников из 15 равно \(\frac{{15!}}{{3! \cdot 12!}}\).

Теперь, чтобы определить вероятность выбора 3 участников, владеющих языком, из случайно выбранных 5 участников, нужно разделить количество комбинаций для выбора 3 участников из 15 на общее количество комбинаций выбора 5 участников из 20:

\[
\text{{Вероятность}} = \frac{{C(15, 3)}}{{C(20, 5)}}
\]

Рассчитаем эту вероятность:

\[
\text{{Вероятность}} = \frac{{\frac{{15!}}{{3! \cdot 12!}}}}{{\frac{{20!}}{{5! \cdot 15!}}}} = \frac{{15! \cdot 5! \cdot 15!}}{{3! \cdot 12! \cdot 20!}}
\]

Это выражение является дробью, которую мы можем упростить, сократив числитель и знаменатель:

\[
\text{{Вероятность}} = \frac{{5!}}{{3! \cdot 12! \cdot 20}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3! \cdot 4 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}} = \frac{{1}}{{3 \cdot 4 \cdot 5}} = \frac{{1}}{{60}}
\]

Таким образом, вероятность выбора 3 участников, владеющих языком, из случайно выбранных 5 участников равна \(\frac{{1}}{{60}}\) или \(0.0167\) (округлено до четырех знаков после запятой).