Из 20 участников международной конференции, 15 владеют языком. Какова вероятность того, что из случайно выбранных

Чтобы решить данную задачу, мы должны определить вероятность того, что из случайно выбранных 5 участников конференции 3 будут владеть языком.

Для этого нам необходимо знать общее количество возможных комбинаций выбора 5 участников из 20-ти, а также количество комбинаций выбора 3 участников из 15-ти, владеющих языком.

Общее количество комбинаций для выбора 5 участников из 20 можно вычислить с помощью формулы сочетаний:

$$C(n,k)=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$$

где $C(n,k)$ обозначает количество сочетаний из $n$ по $k$, а $n!$ - факториал числа $n$.

В данном случае, нам необходимо найти количество комбинаций для выбора 5 участников из 20, что можно записать как $C(20,5)$.

Рассчитаем это значение:

$$C(20,5)=\frac{20!}{5!\cdot (20-5)!}=\frac{20!}{5!\cdot 15!}$$

Таким образом, общее количество комбинаций выбора 5 участников из 20 равно $\frac{20!}{5!\cdot 15!}$.

Теперь мы должны найти количество комбинаций для выбора 3 участников из 15, владеющих языком. Это значение можно записать как $C(15,3)$.

Рассчитаем его:

$$C(15,3)=\frac{15!}{3!\cdot (15-3)!}=\frac{15!}{3!\cdot 12!}$$

Таким образом, количество комбинаций выбора 3 участников из 15 равно $\frac{15!}{3!\cdot 12!}$.

Теперь, чтобы определить вероятность выбора 3 участников, владеющих языком, из случайно выбранных 5 участников, нужно разделить количество комбинаций для выбора 3 участников из 15 на общее количество комбинаций выбора 5 участников из 20:

$$\text{{Вероятность}}=\frac{C(15,3)}{C(20,5)}$$

Рассчитаем эту вероятность:

$$\text{{Вероятность}}=\frac{\frac{15!}{3!\cdot 12!}}{\frac{20!}{5!\cdot 15!}}=\frac{15!\cdot 5!\cdot 15!}{3!\cdot 12!\cdot 20!}$$

Это выражение является дробью, которую мы можем упростить, сократив числитель и знаменатель:

$$\text{{Вероятность}}=\frac{5!}{3!\cdot 12!\cdot 20}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 4\cdot 5\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}=\frac{1}{60}$$

Таким образом, вероятность выбора 3 участников, владеющих языком, из случайно выбранных 5 участников равна $\frac{1}{60}$ или $0.0167$ (округлено до четырех знаков после запятой).