Используя информацию о том, что спутник Юпитера Европа совершает один полный оборот вокруг планеты за 3,55 суток

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться законом всемирного тяготения, который гласит, что сила притяжения между двумя объектами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Формула для расчета силы притяжения имеет вид:
\[ F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{d^2}} \],

где
\( F \) - сила притяжения,
\( G \) - гравитационная постоянная (приблизительно равна \( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2 \)),
\( m_1 \) и \( m_2 \) - массы объектов, между которыми действует сила притяжения,
\( d \) - расстояние между объектами.

Из задачи у нас есть информация о периоде обращения спутника Европы вокруг Юпитера, который составляет 3,55 суток. Для определения массы Юпитера в массах Земли нам необходимо также знать расстояние между Юпитером и его спутником.

Период обращения связан с расстоянием между телами формулой:
\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{{a^3}}{{G \cdot (m_1 + m_2)}}} \],
где
\( T \) - период обращения,
\( a \) - среднее расстояние между телами.

Мы можем переписать эту формулу следующим образом:
\[ a = \left( \frac{{G \cdot (m_1 + m_2) \cdot T^2}}{{4 \pi^2}} \right)^{\frac{1}{3}} \].

Для решения задачи нам потребуется найти \( a \). Мы знаем, что период обращения спутника Европы вокруг Юпитера составляет 3,55 суток, а расстояние между Юпитером и Европой равно 671000 км.

Сначала переведем период обращения в секунды:
\[ T = 3,55 \times 24 \times 60 \times 60 = 306480 \ \text{сек} \].

Затем переведем расстояние между телами в метры:
\[ d = 671000 \times 10^3 = 671000000 \ \text{м} \].

Используя известные значения в формуле для \( a \), получаем:
\[ a = \left( \frac{{6.674 \times 10^{-11} \cdot (m_1 + m_2) \cdot (306480)^2}}{{4 \pi^2}} \right)^{\frac{1}{3}} \].

Мы знаем, что масса Земли составляет приблизительно \( 5.972 \times 10^{24} \) кг, поэтому массу Юпитера обозначим как \( m_j \):
\[ a = \left( \frac{{6.674 \times 10^{-11} \cdot (5.972 \times 10^{24} + m_j) \cdot (306480)^2}}{{4 \pi^2}} \right)^{\frac{1}{3}} \].

Теперь мы можем использовать известное расстояние между Юпитером и его спутником:
\[ a = 671000000 \ \text{м} \].

Подставим это значение в уравнение для \( a \):
\[ 671000000 = \left( \frac{{6.674 \times 10^{-11} \cdot (5.972 \times 10^{24} + m_j) \cdot (306480)^2}}{{4 \pi^2}} \right)^{\frac{1}{3}} \].

Теперь решим это уравнение для \( m_j \). Возводим обе части уравнения в куб:
\[ (671000000)^3 = \frac{{6.674 \times 10^{-11} \cdot (5.972 \times 10^{24} + m_j) \cdot (306480)^2}}{{4 \pi^2}} \].

Умножим оба значения на \( 4 \pi^2 \):
\[ (671000000)^3 \cdot 4 \pi^2 = 6.674 \times 10^{-11} \cdot (5.972 \times 10^{24} + m_j) \cdot (306480)^2 \].

Разделим обе части на \( 6.674 \times 10^{-11} \cdot (306480)^2 \):
\[ \frac{{(671000000)^3 \cdot 4 \pi^2}}{{6.674 \times 10^{-11} \cdot (306480)^2}} = 5.972 \times 10^{24} + m_j \].

Вычтем \( 5.972 \times 10^{24} \) со всех частей:
\[ \frac{{(671000000)^3 \cdot 4 \pi^2}}{{6.674 \times 10^{-11} \cdot (306480)^2}} - 5.972 \times 10^{24} = m_j \].

Рассчитаем это выражение:
\[ m_j \approx 1.898 \times 10^{27} \, \text{кг} \].

Таким образом, масса Юпитера равна приблизительно \( 1.898 \times 10^{27} \) кг, что эквивалентно примерно \( 317,8 \) массам Земли.