Is the inequality x^2log512(x+7) less than or equal to log2(x^2+14x+49)?

Дано неравенство \(x^2\log_{512}(x+7) \leq \log_2(x^2+14x+49)\). Для определения интервалов, при которых неравенство выполняется, мы должны решить неравенство шаг за шагом.

Шаг 1: Начнем с определения ограничений для \(x\). В обоих логарифмах, основание должно быть положительным и не равным 1. Таким образом, \(x+7 > 0\) и \(x^2+14x+49 > 0\).

Решение для первого ограничения:
\(x+7 > 0 \Rightarrow x > -7\). Это означает, что \(x\) должно быть больше -7.

Решение для второго ограничения:
\(x^2+14x+49 > 0\). Мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение, или использовать график, чтобы проверить область значений. Уравнение имеет одинаковые корни и равно \((x+7)^2\). Значит, данное уравнение равно \((x+7)^2 > 0\). квадрат всегда неотрицательный, за исключением когда \(x+7 = 0\). Так как нам нужно, чтобы было больше 0, решением будет \(x \neq -7\). Итак, получаем условие \(x > -7\).

В результате, первое ограничение для \(x\) - это \(x > -7\).

Шаг 2: Разделим неравенство на два случая, случай 1 будет, когда \(x\) - положительное число, и случай 2 будет, когда \(x\) - отрицательное число.

Поговорим сначала о случае 1: \(x > -7\)

Case 1: Если \(x > -7\), то значение выражения \(\log_{512}(x+7)\) будет быть положительным, так как основание логарифма больше 1 и аргумент логарифма больше 0. Следовательно, неравенство \(x^2\log_{512}(x+7) \leq \log_2(x^2+14x+49)\) может быть записано следующим образом:
\[x^2\log_{512}(x+7) \leq \log_2(x^2+14x+49)\]
\[x^2 > 0,\]
так как квадрат всегда положителен (кроме случая, когда \(x = 0\)).

Для второго выражения, \(\log_2(x^2+14x+49)\), нам нужно найти его область значений. Так как основание логарифма равно 2 и аргумент логарифма \(x^2+14x+49\) - квадратное выражение, мы можем заметить, что это квадратное выражение является всегда положительным (кроме случая, когда \(x = -7\)). Зная это, мы можем записать неравенство

\[x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0.\]

Итак, при \(x > -7\) и \(x \neq 0\), неравенство выполняется в том случае, когда \(x \neq 0, x > -7\).

Case 2: Если \(x < -7\), мы должны учесть, что основание логарифма \(\log_{512}(x+7)\) положительное число и аргумент логарифма \(x+7\) должен быть больше 0. Но так как \(x < -7\), мы видим, что аргумент равен \(x+7 < 0\), что означает, что левая часть неравенства отрицательна. В то же время, правая часть неравенства \(\log_2(x^2+14x+49)\) будет положительной, так как \(x^2+14x+49 > 0\) для всех \(x\). Следовательно, в случае \(x < -7\), неравенство не выполняется.

Таким образом, решением данного неравенства является множество всех \(x\) таких, что \(x > -7\) и \(x \neq 0\). Математически, это может быть записано как \((-7, 0) \cup (0, \infty)\).