Индивидуальная карточка. а) Изобразите на рисунке координатные оси таким образом, чтобы график функции у

а) Чтобы изобразить координатные оси и график функции \(y = x\) на рисунке, мы создадим плоскость, где горизонтальная ось будет осью \(x\), а вертикальная ось будет осью \(y\). В каждой клетке этой координатной плоскости будет соответствовать значение единичного отрезка.

Начнем с горизонтальной оси \(x\). Чтобы изобразить единичный отрезок, мы начнем с центральной точки (0,0) и нарисуем две линии, одну направленную влево и одну направленную вправо. Каждая линия будет иметь длину, соответствующую единичному отрезку.

Затем перейдем к вертикальной оси \(y\) и повторим процесс - начнем с центральной точки (0,0) и изобразим две линии, одну направленную вверх и одну направленную вниз, с длиной, соответствующей единичному отрезку.

Теперь у нас есть координатные оси, а график функции \(y = x\) будет представлять собой прямую линию, проходящую через центральную точку (0,0) и образующую угол в 45 градусов с положительным направлением осей \(x\) и \(y\).

б) Формулы функций g, p и h:
\(g(x) = x^2\)
\(p(x) = \sqrt{x}\)
\(h(x) = |x|\)

в) Определим область определения, область значений, нули функции и интервалы с постоянным знаком для каждой функции:

Для функции \(g(x) = x^2\):
- Область определения: любое действительное число
- Область значений: неотрицательные числа (от 0 и выше)
- Нули функции: \(x = 0\) (график пересекает ось \(x\) в точке (0,0))
- Интервалы с постоянным знаком: функция \(g(x)\) положительна для всех \(x > 0\) и отрицательна для всех \(x < 0\). Соответственно, интервалы с постоянным положительным знаком - \(x > 0\), и интервалы с постоянным отрицательным знаком - \(x < 0\).

Для функции \(p(x) = \sqrt{x}\):
- Область определения: \(x \geq 0\) (только неотрицательные числа, так как мы не можем извлекать квадратный корень из отрицательного числа)
- Область значений: неотрицательные числа (от 0 и выше)
- Нули функции: \(x = 0\) (график пересекает ось \(x\) в точке (0,0))
- Интервалы с постоянным знаком: функция \(p(x)\) положительна для всех \(x > 0\) и равна нулю только при \(x = 0\).

Для функции \(h(x) = |x|\):
- Область определения: любое действительное число
- Область значений: неотрицательные числа (от 0 и выше)
- Нули функции: \(x = 0\) (график пересекает ось \(x\) в точке (0,0))
- Интервалы с постоянным знаком: функция \(h(x)\) положительна для всех \(x > 0\), равна нулю при \(x = 0\) и отрицательна для всех \(x < 0\). Соответственно, интервалы с постоянным положительным знаком - \(x > 0\), интервалы с постоянным отрицательным знаком - \(x < 0\), и интервал с нулевым значением - \(x = 0\).

Также определим интервалы монотонности для каждой функции:
- Функция \(g(x) = x^2\) монотонно возрастает на интервале \((0, +\infty)\) и монотонно убывает на интервале \((-\infty, 0)\).
- Функция \(p(x) = \sqrt{x}\) монотонно возрастает на интервале \([0, +\infty)\).
- Функция \(h(x) = |x|\) не является монотонной, так как ее график не имеет постоянного направления. Она монотонно возрастает на интервале \([0, +\infty)\) и монотонно убывает на интервале \((-\infty, 0]\).