Имеются точки А(4: 0), В(12: - 2) и С(5: - 9). Пожалуйста, переформулируйте следующие вопросы: 1) Что такое периметр

Хорошо, давайте рассмотрим вопросы по порядку:

1) Периметр треугольника - это сумма длин его сторон. В нашем случае треугольник АВС имеет стороны АВ, ВС и СА. Чтобы найти периметр, нужно вычислить длины этих сторон и сложить их. Давайте это сделаем:

Длина стороны АВ можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками на плоскости. Известные нам координаты точек А(4: 0) и В(12: -2). Применяя формулу и подставляя значения координат, получим:

\[AB = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[AB = \sqrt{{(12 - 4)^2 + (-2 - 0)^2}}\]
\[AB = \sqrt{{8^2 + (-2)^2}}\]
\[AB = \sqrt{{64 + 4}}\]
\[AB = \sqrt{{68}}\]

Теперь давайте найдем длины остальных сторон ВС и СА:

Длина стороны ВС:
\[BC = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[BC = \sqrt{{(5 - 12)^2 + (-9 - (-2))^2}}\]
\[BC = \sqrt{{(-7)^2 + (-7)^2}}\]
\[BC = \sqrt{{49 + 49}}\]
\[BC = \sqrt{{98}}\]

Длина стороны СА:
\[AC = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[AC = \sqrt{{(5 - 4)^2 + (-9 - 0)^2}}\]
\[AC = \sqrt{{(1)^2 + (-9)^2}}\]
\[AC = \sqrt{{1 + 81}}\]
\[AC = \sqrt{{82}}\]

Теперь, чтобы найти периметр треугольника АВС, нужно сложить длины всех его сторон:

\[P = AB + BC + AC\]
\[P = \sqrt{{68}} + \sqrt{{98}} + \sqrt{{82}}\]

2) Медиана АN - это отрезок, соединяющий вершину треугольника А с серединой стороны BC. Чтобы найти длину медианы, нам нужно сначала найти середину стороны BC.

Для этого найдем среднее арифметическое координат x и y точек В и С:

Средняя координата x точек В и С:
\[x_{\text{сер}} = \frac{{x_1 + x_2}}{2} = \frac{{12 + 5}}{2} = \frac{{17}}{2}\]

Средняя координата y точек В и С:
\[y_{\text{сер}} = \frac{{y_1 + y_2}}{2} = \frac{{-2 + (-9)}}{2} = \frac{{-11}}{2}\]

Теперь, чтобы найти длину медианы АN, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками, где точка N - середина стороны BC (координаты N у нас уже есть: \(x_{\text{сер}}\) и \(y_{\text{сер}}\)):

\[AN = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[AN = \sqrt{{(\frac{{17}}{2} - 4)^2 + (\frac{{-11}}{2} - 0)^2}}\]
\[AN = \sqrt{{(\frac{{9}}{2})^2 + (\frac{{-11}}{2})^2}}\]
\[AN = \sqrt{{\frac{{81}}{4} + \frac{{121}}{4}}}\]
\[AN = \sqrt{{\frac{{202}}{4}}}\]
\[AN = \sqrt{{50.5}}\]

3) Чтобы найти координаты центра описанной окружности треугольника АВС и ее радиус, нам понадобятся средние перпендикуляры.

Сначала найдем серединные точки сторон треугольника АВС:

Середина стороны АВ:
\[x_{AB_{\text{сер}}} = \frac{{x_1 + x_2}}{2} = \frac{{4 + 12}}{2} = 8\]
\[y_{AB_{\text{сер}}} = \frac{{y_1 + y_2}}{2} = \frac{{0 + (-2)}}{2} = -1\]

Середина стороны BC:
\[x_{BC_{\text{сер}}} = \frac{{x_1 + x_2}}{2} = \frac{{12 + 5}}{2} = \frac{{17}}{2}\]
\[y_{BC_{\text{сер}}} = \frac{{y_1 + y_2}}{2} = \frac{{-2 + (-9)}}{2} = \frac{{-11}}{2}\]

Середина стороны СА:
\[x_{AC_{\text{сер}}} = \frac{{x_1 + x_2}}{2} = \frac{{4 + 5}}{2} = 4.5\]
\[y_{AC_{\text{сер}}} = \frac{{y_1 + y_2}}{2} = \frac{{0 + (-9)}}{2} = \frac{{-9}}{2}\]

Теперь найдем угловые коэффициенты прямых, проходящих через эти середины сторон:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через середину стороны АВ и точку С:
\[k_{AB_{\text{сер}}C} = \frac{{y_{AB_{\text{сер}}} - y_C}}{{x_{AB_{\text{сер}}} - x_C}} = \frac{{-1 - (-9)}}{{8 - 5}} = \frac{{8}}{{3}}\]

Угловой коэффициент прямой, проходящей через середину стороны ВС и точку А:
\[k_{BC_{\text{сер}}A} = \frac{{y_{BC_{\text{сер}}} - y_A}}{{x_{BC_{\text{сер}}} - x_A}} = \frac{{\frac{{-11}}{2} - 0}}{{\frac{{17}}{2} - 4}} = \frac{{-11}}{{8}}\]

Угловой коэффициент прямой, проходящей через середину стороны СА и точку В:
\[k_{AC_{\text{сер}}B} = \frac{{y_{AC_{\text{сер}}} - y_B}}{{x_{AC_{\text{сер}}} - x_B}} = \frac{{\frac{{-9}}{2} - (-2)}}{{4.5 - 12}} = \frac{{-13}}{{-7.5}} = \frac{{26}}{{15}}\]

Теперь найдем координаты точки пересечения прямых, проходящих через середины сторон треугольника:

\[x_0 = \frac{{k_{AB_{\text{сер}}C} \cdot x_{BC_{\text{сер}}} - k_{BC_{\text{сер}}A} \cdot x_{AC_{\text{сер}}} + y_{AC_{\text{сер}}} - y_{AB_{\text{сер}}}}}{{k_{AB_{\text{сер}}C} - k_{BC_{\text{сер}}A}}} = \frac{{\frac{{8}}{{3}} \cdot \frac{{17}}{2} - \frac{{-11}}{{8}} \cdot 4.5 + \frac{{-9}}{2} - (-1)}}{{\frac{{8}}{{3}} - \frac{{-11}}{{8}}}}\]
\[x_0 = \frac{{\frac{{136}}{{6}} + \frac{{99}}{{8}} - 8 + 2}}{{\frac{{64}}{{24}} + \frac{{33}}{{24}}}}} = \frac{{\frac{{544}}{{24}} + \frac{{297}}{{24}} - \frac{{192}}{{24}} + \frac{{48}}{{24}}}}{{\frac{{97}}{{24}}}}\]
\[x_0 = \frac{{\frac{{697}}{{24}}}}{{\frac{{97}}{{24}}}} = \frac{{697}}{{97}}\]

\[y_0 = k_{AB_{\text{сер}}C} \cdot (x_0 - x_{BC_{\text{сер}}}) + y_{AB_{\text{сер}}} = \frac{{8}}{{3}} \cdot (\frac{{697}}{{97}} - \frac{{17}}{2}) - 1\]
\[y_0 = \frac{{8}}{{3}} \cdot (\frac{{697 - 833}}{{97}}) - 1\]
\[y_0 = \frac{{8}}{{3}} \cdot (\frac{{-136}}{{97}}) - 1\]
\[y_0 = \frac{{-1088}}{{291}} - 1\]
\[y_0 = \frac{{-1088 - 291}}{{291}}\]
\[y_0 = \frac{{-1379}}{{291}}\]

Таким образом, координаты центра описанной окружности треугольника АВС будут \((\frac{{697}}{{97}}, \frac{{-1379}}{{291}})\).

Чтобы найти радиус описанной окружности, нам нужно найти расстояние от центра окружности до любой из вершин треугольника. Давайте выберем, например, вершину А. Используя формулу для расстояния между двумя точками, получим:

\[R = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[R = \sqrt{{(\frac{{697}}{{97}} - 4)^2 + (\frac{{-1379}}{{291}} - 0)^2}}\]
\[R = \sqrt{{(\frac{{697 - 388}}{{97}})^2 + (\frac{{-1379}}{{291}})^2}}\]
\[R = \sqrt{{(\frac{{309}}{{97}})^2 + (\frac{{-1379}}{{291}})^2}}\]

И вот мы получаем радиус описанной окружности треугольника АВС.