Имеются параллельные плоскости α и β. Через точку о, которая не находится между ними, проведены прямые l и m. Прямая

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать геометрические свойства параллельных плоскостей и применить пропорциональные отношения.

Посмотрим на рисунок и обозначим необходимые точки и отрезки:
- Точка \(О\) - точка, через которую проведены прямые \(l\) и \(m\).
- Точки \(А_1\) и \(А_2\) - точки пересечения прямой \(l\) с плоскостью \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно.
- Точки \(В_1\) и \(В_2\) - точки пересечения прямой \(m\) с плоскостью \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно.

Задача заключается в нахождении длины отрезка \(А_1В_1\) при известной длине отрезка \(А_2В_2\), равной 15 см, и известном отношении \(\dfrac{ОВ_1}{ОВ_2} = \dfrac{3}{5}\).

Для начала, обратимся к свойству параллельных плоскостей: если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она также пересекает и другую параллельную плоскость, и отрезки, соединяющие соответствующие точки пересечения, будут параллельны.

Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle ОВ_1А_1\) и \(\triangle ОВ_2А_2\). Мы знаем, что прямая \(l\) пересекает плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) в точках \(А_1\) и \(А_2\) соответственно, а прямая \(m\) пересекает те же плоскости в точках \(В_1\) и \(В_2\) соответственно.

Поскольку отрезки \(А_1А_2\) и \(В_1В_2\) являются параллельными, то треугольники \(\triangle ОВ_1А_1\) и \(\triangle ОВ_2А_2\) будут подобными. То есть, соответствующие стороны этих треугольников образуют пропорциональные отношения.

Теперь мы можем записать пропорцию для соответствующих сторон треугольников:
\(\dfrac{ОВ_1}{ОВ_2} = \dfrac{А_1В_1}{А_2В_2}\)

Из условия задачи известно, что \(\dfrac{ОВ_1}{ОВ_2} = \dfrac{3}{5}\) и \(А_2В_2 = 15\) см. Подставив эти значения в пропорцию, получаем:
\(\dfrac{3}{5} = \dfrac{А_1В_1}{15}\)

Теперь у нас осталось найти значение отрезка \(А_1В_1\). Для этого решим пропорцию относительно \(А_1В_1\):
\(А_1В_1 = \dfrac{3}{5} \cdot 15\)

Выполнив вычисления, получаем:
\(А_1В_1 = \dfrac{9}{5} \cdot 15 = 27\) см

Таким образом, длина отрезка \(А_1В_1\) равна 27 см.