Имеются известными следующие длины векторов: AB = 4√2, AC = 3 и AB*AC = 12. Каково значение косинуса между векторами AB и AC? Запишите в ответе число в виде, где нет иррациональности в знаменателе.
Cherepashka_Nindzya
Для решения этой задачи воспользуемся формулой для косинуса между двумя векторами:
\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}}{{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{AC}|}}\]
где \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\) - векторы, \(|\mathbf{AB}|\) и \(|\mathbf{AC}|\) - их длины, \(\cdot\) - операция скалярного произведения векторов, \(\theta\) - угол между векторами.
У нас уже имеются известными значения длин векторов: \(|\mathbf{AB}|=4\sqrt{2}\) и \(|\mathbf{AC}|=3\). Также дано, что \(|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{AC}| = 12\).
Подставим данные значения в формулу и рассчитаем значение косинуса:
\[\cos(\theta) = \frac{{12}}{{4\sqrt{2} \cdot 3}}\]
Для дальнейшего упрощения выразим \(\sqrt{2}\) как \(2^{\frac{1}{2}}\):
\[\cos(\theta) = \frac{{12}}{{4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3}}\]
Упростим числитель и знаменатель:
\[\cos(\theta) = \frac{{6}}{{2^{\frac{1}{2}}}}\]
Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим и разделим значение на \(\sqrt{2}\):
\[\cos(\theta) = \frac{{6 \cdot \sqrt{2}}}{{2^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}}} = \frac{{6 \cdot \sqrt{2}}}{{2}}\]
Найдем окончательное значение косинуса:
\[\cos(\theta) = 3\sqrt{2}\]
Таким образом, значение косинуса между векторами AB и AC равно \(3\sqrt{2}\).
\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}}{{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{AC}|}}\]
где \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\) - векторы, \(|\mathbf{AB}|\) и \(|\mathbf{AC}|\) - их длины, \(\cdot\) - операция скалярного произведения векторов, \(\theta\) - угол между векторами.
У нас уже имеются известными значения длин векторов: \(|\mathbf{AB}|=4\sqrt{2}\) и \(|\mathbf{AC}|=3\). Также дано, что \(|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{AC}| = 12\).
Подставим данные значения в формулу и рассчитаем значение косинуса:
\[\cos(\theta) = \frac{{12}}{{4\sqrt{2} \cdot 3}}\]
Для дальнейшего упрощения выразим \(\sqrt{2}\) как \(2^{\frac{1}{2}}\):
\[\cos(\theta) = \frac{{12}}{{4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3}}\]
Упростим числитель и знаменатель:
\[\cos(\theta) = \frac{{6}}{{2^{\frac{1}{2}}}}\]
Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим и разделим значение на \(\sqrt{2}\):
\[\cos(\theta) = \frac{{6 \cdot \sqrt{2}}}{{2^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}}} = \frac{{6 \cdot \sqrt{2}}}{{2}}\]
Найдем окончательное значение косинуса:
\[\cos(\theta) = 3\sqrt{2}\]
Таким образом, значение косинуса между векторами AB и AC равно \(3\sqrt{2}\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
