Имея шарик массой 2 г с зарядом 25 нКл, подвешенный на нити и движущийся по окружности радиусом 3 см со скоростью

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения энергии. Пусть начальная механическая энергия шарика равна его потенциальной энергии и кинетической энергии:

\[E_{\text{нач}} = E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}}\]

Где потенциальная энергия шарика на высоте \(h\) определяется формулой \(E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h\), где \(m\) - масса шарика, \(g\) - ускорение свободного падения (\(9,8 \, \text{м/с}^2\)), а кинетическая энергия шарика определяется формулой \(E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\), где \(v\) - линейная скорость шарика.

В начале движения, когда нить натянута и шарик находится на нижней точке его траектории, он имеет только кинетическую энергию, то есть \(E_{\text{нач}} = E_{\text{кин}}\).

\[E_{\text{нач}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

Мы можем записать это равенство для начального и конечного положений шарика, так как энергия сохраняется. В конце движения, когда шарик поднимается до наивысшей точки его траектории, он все еще имеет некоторую кинетическую энергию, так как его линейная скорость не равна нулю. Но в этот момент у него также есть потенциальная энергия, равная \(m \cdot g \cdot 2r\), где \(r\) - радиус окружности, по которой движется шарик. Поэтому для конечного положения шарика мы можем записать:

\[E_{\text{кон}} = E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}}\]

\[E_{\text{кон}} = m \cdot g \cdot 2r + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

Так как энергия сохраняется, мы можем приравнять начальную и конечную энергию:

\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot 2r + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v"^2\]

Где \(v"\) - линейная скорость шарика в конечном положении.

Также мы знаем, что линейная скорость связана с угловой скоростью формулой \(v = r \cdot \omega\), где \(r\) - радиус окружности, а \(\omega\) - угловая скорость.

Исходя из этого, мы можем выразить линейную скорость в начальном и конечном положении через угловые скорости:

\[v = r \cdot \omega\]
\[v" = r \cdot \omega"\]

Подставляя эти выражения в уравнение энергии, получим:

\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot (r\cdot\omega)^2 = m \cdot g \cdot 2r + \frac{1}{2} \cdot m \cdot (r\cdot\omega")^2\]

Масса шарика m сокращается, и мы можем упростить уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot (r\cdot\omega)^2 = g \cdot 2r + \frac{1}{2} \cdot (r\cdot\omega")^2\]

Раскроем скобки:

\[\frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \omega^2 = 2 \cdot g \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \omega"^2\]

После приведения подобных членов получим:

\[\frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot (\omega^2 - \omega"^2) = 2 \cdot g \cdot r\]

Выразим разность квадратов угловых скоростей:

\[\omega^2 - \omega"^2 = \frac{4 \cdot g}{r}\]

Теперь найдем выражение для угловой скорости шарика в конечном положении. Для этого воспользуемся формулой \(v" = r \cdot \omega"\):

\[v" = r \cdot \omega" = \sqrt{\frac{4 \cdot g}{r} + \omega^2}\]

Таким образом, чтобы подвешенный на нити шарик с массой 2 г и зарядом 25 нКл двигался по окружности радиусом 3 см со скоростью вращения 2 рад/с, угловую скорость вращения шарика нужно иметь равной \(\sqrt{\frac{4 \cdot 9,8}{0,03} + 2^2} \approx 36,93 \, \text{рад/с}\).

Пожалуйста, дайте знать, если что-то не понятно, и я постараюсь объяснить это более подробно!