Имеется неравенство: ||...x|−1|−2|−3|−...|−1754|≤868. а) Какова сумма целых чисел, которые удовлетворяют данному

Хорошо, начнем с решения данной задачи.
а) Для начала разберемся, как выразить данные модули:

Мы можем заметить, что в зависимости от значения x, модуль может быть положительным или отрицательным.
Раз между знаками модулей есть знаки минуса, то есть числа внутри модулей являются положительными, их порядок увеличивается на 1 с каждым модулем.

Исходя из этого, запись модуля можно переписать:

\( |x| - 1 = x - 1 \) при \( x \geq 0 \)

и

\( |x| - 1 = -(x - 1) \) при \( x < 0 \)

Проделаем аналогичные преобразования с каждым модулем в неравенстве:

\( (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ... + (x - 1754) \leq 868 \) при \( x \geq 0 \)

и

\( -(x - 1) - (x - 2) - (x - 3) - ... - (x - 1754) \leq 868 \) при \( x < 0 \)

Теперь просто приведем полученное неравенство к более привычному виду:

\( 1754x - \frac{{1754 \cdot 1755}}{2} \leq 868 \) при \( x \geq 0 \)

и

\( -1754x + \frac{{1754 \cdot 1755}}{2} \leq 868 \) при \( x < 0 \)

b) Для решения этого пункта мы должны обратить внимание на остаток от деления на 2. Заметим, что если число четное, то оно делится на 2 без остатка, иначе оно будет иметь остаток 1 при делении на 2.

Так как мы имеем дело с неравенством, мы можем осуществить грубую оценку числа решений, положительных и отрицательных, и сравнить эти значения.

Чтобы получить грубую оценку, заменим неравенство знаком равенства:

\( 1754x - \frac{{1754 \cdot 1755}}{2} = 868 \) и \( -1754x + \frac{{1754 \cdot 1755}}{2} = 868 \)

Решим каждое из этих уравнений относительно x:

Для первого уравнения:

\( 1754x = 868 + \frac{{1754 \cdot 1755}}{2} \)
\( x = \frac{{868 + \frac{{1754 \cdot 1755}}{2}}}{1754} \)

Для второго уравнения:

\( -1754x = 868 + \frac{{1754 \cdot 1755}}{2} \)
\( x = -\frac{{868 + \frac{{1754 \cdot 1755}}{2}}}{1754} \)

После этих вычислений мы получим значения:

\( x_{1} \approx 612.7 \) и \( x_{2} \approx -612.7 \)

Теперь мы можем грубо оценить число решений этого неравенства, округлив значения \( x_{1} \) и \( x_{2} \) до ближайших целых чисел:

\( x_{1} \approx 613 \) и \( x_{2} \approx -613 \)

Итак, грубая оценка гласит, что число решений, положительных и отрицательных, равно 613.

Теперь сравним эти значения.
Число решений, положительных и отрицательных, одинаково, ведь эти числа находятся симметрично относительно нуля. Значит, их остатки от деления на 2 также должны быть одинаковыми.

Значит, ответ на второй вопрос равен 0, так как число решений делится на 2 без остатка.

В итоге, сумма целых чисел, удовлетворяющих данному неравенству, равна 1226, а остаток от деления на 2 -- 0.