Имеется неравенство: ||...x|−1|−2|−3|−...|−1754|≤868. а) Какова сумма целых чисел, которые удовлетворяют данному

Хорошо, начнем с решения данной задачи.
а) Для начала разберемся, как выразить данные модули:

Мы можем заметить, что в зависимости от значения x, модуль может быть положительным или отрицательным.
Раз между знаками модулей есть знаки минуса, то есть числа внутри модулей являются положительными, их порядок увеличивается на 1 с каждым модулем.

Исходя из этого, запись модуля можно переписать:

$|x|-1=x-1$ при $x\ge 0$

и

$|x|-1=-(x-1)$ при $x<0$

Проделаем аналогичные преобразования с каждым модулем в неравенстве:

$(x-1)+(x-2)+(x-3)+...+(x-1754)\le 868$ при $x\ge 0$

и

$-(x-1)-(x-2)-(x-3)-...-(x-1754)\le 868$ при $x<0$

Теперь просто приведем полученное неравенство к более привычному виду:

$1754x-\frac{1754\cdot 1755}{2}\le 868$ при $x\ge 0$

и

$-1754x+\frac{1754\cdot 1755}{2}\le 868$ при $x<0$

b) Для решения этого пункта мы должны обратить внимание на остаток от деления на 2. Заметим, что если число четное, то оно делится на 2 без остатка, иначе оно будет иметь остаток 1 при делении на 2.

Так как мы имеем дело с неравенством, мы можем осуществить грубую оценку числа решений, положительных и отрицательных, и сравнить эти значения.

Чтобы получить грубую оценку, заменим неравенство знаком равенства:

$1754x-\frac{1754\cdot 1755}{2}=868$ и $-1754x+\frac{1754\cdot 1755}{2}=868$

Решим каждое из этих уравнений относительно x:

Для первого уравнения:

$1754x=868+\frac{1754\cdot 1755}{2}$
$x=\frac{868+\frac{1754\cdot 1755}{2}}{1754}$

Для второго уравнения:

$-1754x=868+\frac{1754\cdot 1755}{2}$
$x=-\frac{868+\frac{1754\cdot 1755}{2}}{1754}$

После этих вычислений мы получим значения:

$x_1\approx 612.7$ и $x_2\approx -612.7$

Теперь мы можем грубо оценить число решений этого неравенства, округлив значения $x_1$ и $x_2$ до ближайших целых чисел:

$x_1\approx 613$ и $x_2\approx -613$

Итак, грубая оценка гласит, что число решений, положительных и отрицательных, равно 613.

Теперь сравним эти значения.
Число решений, положительных и отрицательных, одинаково, ведь эти числа находятся симметрично относительно нуля. Значит, их остатки от деления на 2 также должны быть одинаковыми.

Значит, ответ на второй вопрос равен 0, так как число решений делится на 2 без остатка.

В итоге, сумма целых чисел, удовлетворяющих данному неравенству, равна 1226, а остаток от деления на 2 -- 0.