Имеется неравенство: ||...x|−1|−2|−3|−...|−1754|≤868. а) Какова сумма целых чисел, которые удовлетворяют данному неравенству? б) Какой остаток от деления на 2 получается при числе целых решений этого неравенства?
Iskryaschayasya_Feya
Хорошо, начнем с решения данной задачи.
а) Для начала разберемся, как выразить данные модули:
Мы можем заметить, что в зависимости от значения x, модуль может быть положительным или отрицательным.
Раз между знаками модулей есть знаки минуса, то есть числа внутри модулей являются положительными, их порядок увеличивается на 1 с каждым модулем.
Исходя из этого, запись модуля можно переписать:
при
и
при
Проделаем аналогичные преобразования с каждым модулем в неравенстве:
при
и
при
Теперь просто приведем полученное неравенство к более привычному виду:
при
и
при
b) Для решения этого пункта мы должны обратить внимание на остаток от деления на 2. Заметим, что если число четное, то оно делится на 2 без остатка, иначе оно будет иметь остаток 1 при делении на 2.
Так как мы имеем дело с неравенством, мы можем осуществить грубую оценку числа решений, положительных и отрицательных, и сравнить эти значения.
Чтобы получить грубую оценку, заменим неравенство знаком равенства:
и
Решим каждое из этих уравнений относительно x:
Для первого уравнения:
Для второго уравнения:
После этих вычислений мы получим значения:
и
Теперь мы можем грубо оценить число решений этого неравенства, округлив значения и до ближайших целых чисел:
и
Итак, грубая оценка гласит, что число решений, положительных и отрицательных, равно 613.
Теперь сравним эти значения.
Число решений, положительных и отрицательных, одинаково, ведь эти числа находятся симметрично относительно нуля. Значит, их остатки от деления на 2 также должны быть одинаковыми.
Значит, ответ на второй вопрос равен 0, так как число решений делится на 2 без остатка.
В итоге, сумма целых чисел, удовлетворяющих данному неравенству, равна 1226, а остаток от деления на 2 -- 0.
а) Для начала разберемся, как выразить данные модули:
Мы можем заметить, что в зависимости от значения x, модуль может быть положительным или отрицательным.
Раз между знаками модулей есть знаки минуса, то есть числа внутри модулей являются положительными, их порядок увеличивается на 1 с каждым модулем.
Исходя из этого, запись модуля можно переписать:
и
Проделаем аналогичные преобразования с каждым модулем в неравенстве:
и
Теперь просто приведем полученное неравенство к более привычному виду:
и
b) Для решения этого пункта мы должны обратить внимание на остаток от деления на 2. Заметим, что если число четное, то оно делится на 2 без остатка, иначе оно будет иметь остаток 1 при делении на 2.
Так как мы имеем дело с неравенством, мы можем осуществить грубую оценку числа решений, положительных и отрицательных, и сравнить эти значения.
Чтобы получить грубую оценку, заменим неравенство знаком равенства:
Решим каждое из этих уравнений относительно x:
Для первого уравнения:
Для второго уравнения:
После этих вычислений мы получим значения:
Теперь мы можем грубо оценить число решений этого неравенства, округлив значения
Итак, грубая оценка гласит, что число решений, положительных и отрицательных, равно 613.
Теперь сравним эти значения.
Число решений, положительных и отрицательных, одинаково, ведь эти числа находятся симметрично относительно нуля. Значит, их остатки от деления на 2 также должны быть одинаковыми.
Значит, ответ на второй вопрос равен 0, так как число решений делится на 2 без остатка.
В итоге, сумма целых чисел, удовлетворяющих данному неравенству, равна 1226, а остаток от деления на 2 -- 0.
Знаешь ответ?