Имеется бинарное отношение на множестве М={1,2,3,4}. Определить, является ли данное отношение рефлексивным

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с определения каждого свойства бинарного отношения.

1. Рефлексивность: Бинарное отношение R на множестве М является рефлексивным, если каждый элемент множества М связан с самим собой по отношению R. Другими словами, для любого элемента x из М, пара (x, x) должна принадлежать R.

В нашем случае, (1, 1), (2, 2), (3, 3) и (4, 4) являются парами в R, где каждый элемент связан с самим собой. Таким образом, отношение R является рефлексивным.

2. Симметричность: Бинарное отношение R на множестве М является симметричным, если для каждой пары (x, y) из R, пара (y, x) также принадлежит R.

В нашем случае, есть пары (1, 2), (2, 3) и (4, 1) в R. Но нет пар типа (2, 1), (3, 2) или (1, 4). Следовательно, отношение R не является симметричным.

3. Антисимметричность: Бинарное отношение R на множестве М является антисимметричным, если для любых пар (x, y) и (y, x) из R, где x не равно y, только одна из этих пар может соответствовать R.

В нашем случае, есть пары (1, 2) и (2, 3) в R, но нет соответствующих парам (2, 1) или (3, 2). Аналогично, есть пары (1, 4) и (4, 1), но нет пар (4, 1) или (1, 4). Таким образом, отношение R является антисимметричным.

4. Транзитивность: Бинарное отношение R на множестве М является транзитивным, если для каждых пар (x, y) и (y, z) из R, пара (x, z) также принадлежит R.

В нашем случае, есть пары (1, 2) и (2, 3), и пара (1, 3) также принадлежит R. Но нет пар (2, 1) и (3, 2), поэтому мы не можем утверждать, что отношение R транзитивно.

Теперь давайте рассмотрим остальные части задачи.

5. Область определения отношения R (δR) - это множество всех элементов, которые являются первыми элементами в каждой паре отношения R.

В нашем случае, первые элементы пар R - это 1, 2, 3 и 4. Таким образом, область определения отношения R (δR) = {1, 2, 3, 4}.

6. Область значений отношения R (ρR) - это множество всех элементов, которые являются вторыми элементами в каждой паре отношения R.

В нашем случае, вторые элементы пар R - это также 1, 2, 3 и 4. Таким образом, область значений отношения R (ρR) = {1, 2, 3, 4}.

7. Обратное отношение R-1 - это отношение, где элементы в каждой паре отношения R меняются местами.

В нашем случае, обратное отношение R-1 будет выглядеть следующим образом:
R-1 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (1, 4), (4, 4)}

8. Пересечение отношений R и R-1 - это множество всех пар, которые одновременно принадлежат и отношению R, и отношению R-1.

Для нашего случая, пересечение отношений R и R-1 будет состоять только из пар (1, 1) и (3, 3).

9. Объединение отношений R и R-1 - это множество всех пар, которые принадлежат либо отношению R, либо отношению R-1.

Для нашего случая, объединение отношений R и R-1 будет состоять из всех пар, представленных в R и R-1, и не будет дублирования пар. Таким образом, объединение отношений R и R-1 будет выглядеть следующим образом:
R ∪ R-1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (1, 4), (4, 1), (4, 4)}.

Надеюсь, что этот подробный разбор помог вам лучше понять данное бинарное отношение.