Геометрия 8 класса, треугольники подобие. Две задачи

Конечно! Давайте начнем с первой задачи:

Задача 1: В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (где угол А является прямым углом) проведена высота \(CD\). Известно, что отрезки \(AD\) и \(BD\) образуют соответственно пропорции 1:2. Найдите отношение высоты треугольника к длине его гипотенузы.

Решение:

Шаг 1: Для начала, давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника. Пусть сторона \(AC\) является гипотенузой треугольника, сторона \(AB\) - катетом, а сторона \(BC\) - вторым катетом.

Шаг 2: Поскольку высота \(CD\) является перпендикуляром к основанию, она будет делить треугольник на два подобных треугольника \(ADC\) и \(BDC\).

Шаг 3: Так как отрезки \(AD\) и \(BD\) образуют пропорцию 1:2, то можно записать следующее:

\(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{DC}}{{DB}} = \frac{1}{2}\)

Шаг 4: Далее, заметим, что высота \(CD\) также является линией пересечения двух подобных треугольников \(ADC\) и \(BDC\). Это означает, что отношение высоты к соответствующей стороне будет одинаково для обоих треугольников.

Шаг 5: Таким образом, получаем:

\(\frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{1}}{{2}}\)

Шаг 6: Отношение высоты \(CD\) к гипотенузе \(AC\) можно найти, используя подобные треугольники:

\(\frac{{CD}}{{AC}} = \frac{{CD + DB}}{{AB + AC}}\)

\(\frac{{CD}}{{AC}} = \frac{{1}}{{1 + 2}} = \frac{{1}}{{3}}\)

Ответ: Отношение высоты треугольника к длине его гипотенузы равно \(\frac{{1}}{{3}}\).

Перейдем к следующей задаче:

Задача 2: В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (где угол А является прямым углом) известны следующие отношения: \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{2}}{{3}}\) и \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{3}}{{4}}\). Найдите отношение площадей треугольников \(ABD\) и \(BCD\), где точка \(D\) - основание проведенной высоты из вершины \(B\).

Решение:

Шаг 1: По условию задачи, стороны прямоугольного треугольника \(ABC\) связаны отношениями \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{2}}{{3}}\) и \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{3}}{{4}}\).

Шаг 2: Поскольку точка \(D\) является основанием проведенной высоты из вершины \(B\), треугольники \(ABD\) и \(BCD\) будут подобными.

Шаг 3: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон.

Шаг 4: Следовательно, можно записать следующее:

\(\frac{{S_{ABD}}}{{S_{BCD}}} = \left(\frac{{AB}}{{BC}}\right)^2\)

\(\frac{{S_{ABD}}}{{S_{BCD}}} = \left(\frac{{2}}{{3}}\right)^2 = \frac{{4}}{{9}}\)

Ответ: Отношение площадей треугольников \(ABD\) и \(BCD\) равно \(\frac{{4}}{{9}}\).

Вот, две задачи решены подробно и с пояснениями. Если у вас возникнут еще вопросы или пожелания по объяснению, не стесняйтесь задавать!