Геометрия, 7-й клас, 1. В колі з центром О проведена хорда МК, яка перпендикулярна до діаметра АВ. Кут МОК становить

1. Щоб знайти довжину хорди МК, нам спочатку потрібно використати властивість перпендикулярності. Оскільки хорда МК є перпендикулярною до діаметра АВ, то кут МОК, будучи прилеглим до прямого кута, становитиме 90°. Однак, в завданні сказано, що кут МОК становить 60°. З цієї інформації ми можемо зробити висновок, що відрізок МК дорівнює радіусу кола, оскільки в прямокутному трикутнику МОК кут при вершині М дорівнює 90°, а кут МОК дорівнює 60°. Тому, за властивістю прямокутного трикутника, відрізок МК - це радіус кола, який в даному випадку становить 17 см.

2. Щоб знайти кут ВОС, нам потрібно використати властивості дотичних до кола. За властивістю дотичної, дотична АВ буде перпендикулярною до променя ОВ, який є радіусом кола. Тому, кут ВАО буде прямим кутом. Однак, ми знаємо, що АВ = 9 см, а АО = 18 см. З цього факту ми можемо зробити висновок, що відрізок ОВ також буде мати довжину 9 см, оскільки він є радіусом кола. Відрізок ОС є другою дотичною до кола з точкою дотику С, тому АС і ОС будуть взаємно перпендикулярними. З цих властивостей прямокутного трикутника можна зробити висновок, що кут ВОС дорівнюватиме 90°.

3. Завдання стає трохи складнішим. Ми знаємо, що кут між двома дотичними до кола дорівнює 60°. Однак, варто пригадати властивість, що кут, який закривається дотичною і сигментом кола, є прямим кутом. Оскільки ми знаємо, що кут між дотичними дорівнює 60°, то кути, які вони закривають, будуть доповнюватися до прямого кута (90°). Отже, кожен з цих кутів дорівнюватиме 30°.

Так як кут між променем і дотичною є прямим кутом, а ми знаємо, що кут між дотичною і сегментом кола дорівнює 30°, то за властивістю прямокутного трикутника кут між променем і сегментом кола дорівнює 60°. Отже, ми можемо вважати, що цей сегмент кола теж є шестикутником. Також ми знаємо, що кожний з кутів шестикутника дорівнює 120° (360° / 6). З цієї інформації ми можемо виокремити равнобедрений трикутник АОВ, оскільки кут ОАВ (той кут, між дотичною і променем) дорівнює 30°, і кожний з внутрішніх кутів видно, що дорівнює 120°. З проведенням медіани трикутника можна поділити трикутник на два рівні трикутники. Оскільки ми маємо равнобедрений трикутник АОВ, медіана АР буде перпендикулярна і буде проведена на сторону ВО. З цих властивостей прямокутної лінії ми можемо зробити висновок, що кут ВАР дорівнюватиме 90°.

Тепер ми маємо прямокутний трикутник АВС, в якому ми знаємо катет ВАР (90°) і катет АВ (9 см). Ми можемо використати теорему Піфагора, щоб знайти довжину гіпотенузи ВС. Формула теореми Піфагора стверджує, що квадрат гіпотенузи (ВС^2) дорівнює сумі квадратів катетів (АВ^2 + АР^2). Встановивши відповідні значення, ми отримаємо: ВС^2 = 9^2 + 9^2 = 81 + 81 = 162. Щоб знайти ВС, потрібно взяти квадратний корінь з цього значення. Слід зазначити, що в даному випадку нехай ВС буде позитивним значенням, оскільки це розмір довжини.

\[ВС = \sqrt{162} = 12.73 \, см\]

Отже, довжина хорди МК становить 17 см, кут ВОС дорівнює 90°, а відстань від точки А до центра кола дорівнює 12.73 см (з округленням до двох десяткових знаків). Ці результати мають бути зрозумілі для школяра.