Геометрия! :) 1) Найдите длину вектора p=7a-4b, если координаты вектора а(1; - 1; 2) и b ( 3; - 2;-1); 2) Для вектора

Конечно! Давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Для нахождения длины вектора p=7a-4b, нам нужно вычислить модуль этого вектора. Модуль вектора можно найти по формуле:

\(|p| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}\),

где \(p_x, p_y, p_z\) - координаты вектора p.

Для начала найдем значения координат \(p_x, p_y, p_z\). Подставим значения a и b в формулу и выполним вычисления:

\[p_x = 7 \cdot 1 - 4 \cdot 3 = -5\]
\[p_y = 7 \cdot (-1) - 4 \cdot (-2) = -1\]
\[p_z = 7 \cdot 2 - 4 \cdot (-1) = 22\]

Теперь подставим значения координат вектора p в формулу модуля и вычислим его значение:

\[|p| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2 + 22^2} = \sqrt{25 + 1 + 484} = \sqrt{510} \approx 22.6\].

Таким образом, длина вектора p примерно равна 22.6.

2) Мы должны найти координаты вектора b, противоположного вектору a, при условии, что модуль вектора b равен 21.

Если вектор b противоположен вектору a, то его координаты будут иметь противоположные знаки.

Построим формулу нахождения модуля вектора b:

\(|b| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} = 21\).

Так как вектор b противоположен вектору a, то получаем систему уравнений:

\[-3 \cdot b_x = 2 \cdot (-3)\]
\[2 \cdot b_y = 2 \cdot 2\]
\[6 \cdot b_z = 2 \cdot 6\],
\[b_x + b_y + b_z = 21\].

Решим данную систему уравнений:

\[b_x = -2\]
\[b_y = 2\]
\[b_z = 2\],

и сумма \(b_x + b_y + b_z = -2 + 2 + 2 = 2\).

Таким образом, координаты вектора b равны (-2, 2, 2).

3) Чтобы доказать, что четырёхугольник abcd со сторонами a(2,-3,1), b(-4,2,3), c(6,1,-4) и d(22,-5,-13) является трапецией, мы должны проверить, что пары противоположных сторон параллельны.

Трапеция имеет две параллельные стороны и две непараллельные. Итак, мы должны проверить, что \(ab \parallel dc\) и \(ad \parallel bc\).

Вектор, проведенный между двумя точками, можно найти как разность координат этих точек. Проверим параллельность сторон ab и dc:

\[ab = b - a = (-4, 2, 3) - (2, -3, 1) = (-6, 5, 2)\]
\[dc = c - d = (6, 1, -4) - (22, -5, -13) = (-16, 6, 9)\].

Мы видим, что координаты векторов ab и dc не имеют пропорциональные значения, следовательно, эти стороны НЕ параллельны.

Теперь проверим параллельность сторон ad и bc:

\[ad = d - a = (22, -5, -13) - (2, -3, 1) = (20, 2, -14)\]
\[bc = c - b = (6, 1, -4) - (-4, 2, 3) = (10, -1, -7)\].

Мы видим, что координаты векторов ad и bc имеют пропорциональные значения (например, \(ad = 2 \cdot bc\)), следовательно, эти стороны параллельны.

Таким образом, по результатам наших вычислений четырёхугольник abcd является трапецией.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать! Я готов помочь вам в любое время.