Геометрические вероятности. Какова вероятность того, что случайно выбранная точка из полукруга, заданного в полярных

Для решения этой задачи по геометрическим вероятностям, нам нужно определить отношение площадей фигур, описанных в условии задачи.

Итак, у нас есть две фигуры:

1. Полукруг описанный уравнением \( \rho \leq 2\cos\phi \), где \( 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2} \).
2. Полукруг описанный уравнением \( \rho \leq 2\sin\phi \), где \( 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2} \).

Для начала найдем общие пределы изменения переменных \( \rho \) и \( \phi \). Из уравнения \( \rho \leq 2\cos\phi \) можно сказать, что \( 0 \leq \rho \leq 2 \), так как косинус изменяется от -1 до 1, а значит максимальное значение \( \rho \) будет \( 2 \cdot 1 = 2 \). То же самое верно и для условий другого полукруга.

Теперь нам нужно найти отношение площадей этих фигур. Площадь фигуры на плоскости в полярных координатах можно найти по формуле \( S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} f(\phi)^2 d\phi \), где \( f(\phi) \) - это уравнение кривой в полярных координатах, а \( \alpha \) и \( \beta \) - пределы изменения угла.

Давайте найдем площадь первой фигуры: \( S_1 = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} (2\cos\phi)^2 d\phi = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} 4\cos^2\phi d\phi = 2\int_{0}^{\pi/2} \cos^2\phi d\phi \).

Используя формулу двойного угла, получим \( \cos^2\phi = \frac{1+\cos 2\phi}{2} \).

Следовательно, \( S_1 = 2\int_{0}^{\pi/2} \frac{1+\cos 2\phi}{2} d\phi = \int_{0}^{\pi/2} (1+\cos 2\phi) d\phi = [\phi + \frac{1}{2}\sin 2\phi]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} \).

Аналогичным образом найдем площадь второй фигуры: \( S_2 = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} (2\sin\phi)^2 d\phi = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} 4\sin^2\phi d\phi = 2\int_{0}^{\pi/2} \sin^2\phi d\phi \).

Используя формулу двойного угла для синуса, получим \( \sin^2\phi = \frac{1 - \cos 2\phi}{2} \).

Таким образом, \( S_2 = 2\int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2\phi}{2} d\phi = \int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos 2\phi) d\phi = [\phi - \frac{1}{2}\sin 2\phi]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} \).

Итак, отношение площадей фигур равно \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} = 1 \).

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка из полукруга, заданного условиями, будет находиться внутри второго полукруга, также равна 1.