Где следует разместить заряд –q для достижения его равновесия в воздухе с единичной диэлектрической проницаемостью

Для того чтобы найти местоположение, где следует разместить заряд -q для достижения равновесия, мы должны учесть, что на заряд -q будут действовать электрические силы, и эти силы должны быть равновесными.

Представим, что заряд -q размещен на расстоянии x от точечного заряда +q и на расстоянии y от точечного заряда +4q.

Теперь мы можем записать выражения для сил, действующих на заряд -q от каждого из этих зарядов.

Сила F1, действующая на заряд -q от заряда +q, может быть вычислена с использованием закона Кулона:

\[ F1 = \frac{{k \cdot q \cdot (-q)}}{{x^2}} \]

где k - это электрическая постоянная, равная приближенно 9 * 10^9.

Сила F2, действующая на заряд -q от заряда +4q, может быть также вычислена:

\[ F2 = \frac{{k \cdot 4q \cdot (-q)}}{{y^2}} \]

Теперь для достижения равновесия эти силы должны быть равными. Поэтому мы можем записать:

\[ \frac{{k \cdot q \cdot (-q)}}{{x^2}} = \frac{{k \cdot 4q \cdot (-q)}}{{y^2}} \]

Отсюда мы можем упростить выражение, разделив обе части на -q и переставив местами x и y:

\[ \frac{1}{{x^2}} = \frac{4}{{y^2}} \]

Таким образом, мы получаем уравнение, которое связывает расстояния x и y:

\[ \frac{{y^2}}{{x^2}} = 4 \]

Теперь, учитывая, что x + y = l (расстояние l), мы можем записать:

\[ \frac{{(l - y)^2}}{{y^2}} = 4 \]

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

\[ l^2 - 2ly + y^2 = 4y^2 \]
\[ l^2 - 2ly + 3y^2 = 0 \]

Теперь это уравнение квадратное уравнение относительно y. Мы можем решить его, используя методы решения квадратных уравнений, например, метод дискриминанта.

\[ D = b^2 - 4ac \]
\[ D = (-2l)^2 - 4(1)(3)l^2 \]
\[ D = 4l^2 - 12l^2 \]
\[ D = -8l^2 \]

Если дискриминант D отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней, что означает, что в нашей задаче нет места, где заряд -q может находиться для достижения равновесия.