Где на параболе x^2=9y абсцисса увеличивается вдвое быстрее, чем ордината? (ответ: (9/4, 9/16

Дано уравнение параболы \(x^2 = 9y\). Мы должны найти точку на параболе, где абсцисса увеличивается вдвое быстрее, чем ордината.

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется знать соотношение между абсциссой и ординатой на параболе. Для этого мы можем взять производную от уравнения параболы по \(y\) и получить отношение изменения \(x\) к изменению \(y\).

Начнем с уравнения параболы \(x^2 = 9y\). Чтобы найти производную, необходимо применить правило дифференцирования степенной функции. Получим:

\[
\frac{{d}}{{dy}}(x^2) = \frac{{d}}{{dy}}(9y)
\]

Продифференцируем обе стороны:

\[
2x\frac{{dx}}{{dy}} = 9
\]

Теперь мы можем найти отношение изменения \(x\) к изменению \(y\):

\[
\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{9}}{{2x}}
\]

Зная, что абсцисса увеличивается вдвое быстрее, чем ордината, мы можем записать это в виде отношения:

\[
\frac{{dx}}{{dy}} = 2\frac{{dy}}{{dy}}
\]

Подставим это выражение в предыдущую формулу:

\[
2\frac{{dy}}{{dx}} = 2\frac{{dy}}{{dx}}\frac{{dy}}{{dx}}
\]

Сократим 2 с обеих сторон:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \left(\frac{{dy}}{{dx}}\right)^2
\]

Теперь полученное уравнение - это квадратное уравнение относительно \(\frac{{dy}}{{dx}}\). Решим его:

\[
\left(\frac{{dy}}{{dx}}\right)^2 - \frac{{dy}}{{dx}} = 0
\]

Факторизуем его:

\[
\left(\frac{{dy}}{{dx}}\right)\left(\frac{{dy}}{{dx}}-1\right) = 0
\]

Используем нулевое свойство произведения:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 0 \quad \text{или} \quad \frac{{dy}}{{dx}} - 1 = 0
\]

Решим каждое уравнение отдельно. Если \(\frac{{dy}}{{dx}} = 0\) , то изменения ординаты равны нулю, и отношение изменения абсциссы к изменению ординаты бесконечно большое. Это не удовлетворяет условию задачи, так как оно требует, чтобы абсцисса увеличивалась вдвое быстрее.

Поэтому рассмотрим уравнение \(\frac{{dy}}{{dx}} - 1 = 0\), от которого мы получаем:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 1
\]

Таким образом, изменения абсциссы и ординаты будут равными (1:1). Зная это значение, мы можем найти конкретные значения \(x\) и \(y\) путем подстановки этого значения в исходное уравнение параболы:

\[
x^2 = 9y
\]

\[
x^2 = 9 \cdot 1
\]

\[
x^2 = 9
\]

\[
x = \pm 3
\]

Поэтому точка на параболе, где абсцисса увеличивается вдвое быстрее, чем ордината, будет иметь координаты \(\left(\frac{9}{4}, \frac{9}{16}\right)\), так как \(x = 3\) и \(y = \frac{1}{9}\).

Итак, ответ на задачу - \(\left(\frac{9}{4}, \frac{9}{16}\right)\).