Где будет располагаться точка пересечения плоскости α и прямой, проходящей через точку С и параллельной АА1

а. Сначала разберемся с первым вопросом. У нас есть плоскость \(\alpha\) и прямая, проходящая через точку \(C\) и параллельная \(AA_1\), где \(AA_1||BB_1\). Чтобы найти точку пересечения этих двух объектов, нужно понять, какие координаты имеет эта точка.

При параллельности мы знаем, что векторы, направленные от точек \(A\) и \(A_1\) на любую точку на прямой, будут равны.

Таким образом, мы можем записать векторное уравнение прямой, проходящей через точку \(C\) и параллельной \(AA_1\):

\(\vec{r} = \vec{C} + \lambda \cdot \vec{u}\),

где \(\vec{r}\) - любая точка на прямой, \(\vec{C}\) - координаты точки \(C\), \(\vec{u}\) - вектор, направленный от точки \(A\) к точке \(A_1\), а \(\lambda\) - параметр, который может принимать любое значение.

Также у нас есть уравнение плоскости \(\alpha\), которое выглядит примерно так:

\(Ax + By + Cz + D = 0\),

где \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) - коэффициенты, которые определяют положение плоскости.

Чтобы найти точку пересечения, нужно подставить в уравнение плоскости координаты точки прямой \(\vec{r}\) и найти её значения, удовлетворяющие уравнению плоскости.

Таким образом, решение заключается в том, чтобы подставить выражение для \(\vec{r}\) в уравнение плоскости и решить получившееся уравнение относительно параметра \(\lambda\). Затем, подставив найденное значение \(\lambda\) в выражение для \(\vec{r}\), мы найдем координаты точки пересечения плоскости и прямой.

б. Во втором вопросе нам нужно найти точку пересечения плоскости \(\alpha\) и перпендикуляра, проведенного из точки \(C\) к плоскости \(\alpha\).

Построим перпендикуляр из точки \(C\) к плоскости \(\alpha\). Этот перпендикуляр будет пересекать плоскость \(\alpha\) в точке, которую мы и ищем.

Для построения перпендикуляра мы будем использовать векторное уравнение прямой, проходящей через точку \(C\) и параллельной нормали плоскости \(\alpha\):

\(\vec{r} = \vec{C} + \mu \cdot \vec{n}\),

где \(\vec{r}\) - любая точка на перпендикуляре, \(\vec{C}\) - координаты точки \(C\), \(\vec{n}\) - нормаль плоскости \(\alpha\), а \(\mu\) - параметр, который может принимать любое значение.

Теперь, чтобы найти точку пересечения, нужно подставить выражение для \(\vec{r}\) в уравнение плоскости \(\alpha\) и решить получившееся уравнение относительно параметра \(\mu\). Затем, подставив найденное значение \(\mu\) в выражение для \(\vec{r}\), мы найдем координаты точки пересечения.

в. В третьем вопросе нас просят найти точку пересечения \(A_1B_1\) и плоскости \(\alpha\), где \(A_1B_1\) параллельна \(VV_1\).

Для решения этой задачи мы будем использовать метод, аналогичный методу, описанному в первом вопросе.

У нас есть векторное уравнение прямой, проходящей через точку \(A_1\) и параллельной \(VV_1\):

\(\vec{r} = \vec{A_1} + \lambda \cdot \vec{v_1}\),

где \(\vec{r}\) - любая точка на прямой, \(\vec{A_1}\) - координаты точки \(A_1\), \(\vec{v_1}\) - вектор, направленный от точки \(V\) к точке \(V_1\), а \(\lambda\) - параметр, который может принимать любое значение.

Подставим выражение для \(\vec{r}\) в уравнение плоскости \(\alpha\) и найдем значение параметра \(\lambda\), которое удовлетворяет уравнению плоскости. Затем, подставив найденное значение \(\lambda\) в выражение для \(\vec{r}\), мы найдем координаты точки пересечения.

г. В четвертом вопросе нам нужно найти точку пересечения продолжения прямой \(A_1B_1\) и плоскости \(\alpha\).

Решение этой задачи похоже на решение первого и третьего вопросов. Мы используем векторное уравнение прямой, проходящей через точку \(A_1\) и параллельной \(B_1V_1\):

\(\vec{r} = \vec{A_1} + \mu \cdot \vec{b_1}\),

где \(\vec{r}\) - любая точка на прямой, \(\vec{A_1}\) - координаты точки \(A_1\), \(\vec{b_1}\) - вектор, направленный от точки \(B_1\) к точке \(V_1\), а \(\mu\) - параметр, который может принимать любое значение.

Подставим выражение для \(\vec{r}\) в уравнение плоскости \(\alpha\) и найдем значение параметра \(\mu\), которое удовлетворяет уравнению плоскости. Затем, подставив найденное значение \(\mu\) в выражение для \(\vec{r}\), мы найдем координаты точки пересечения.