Фирма арендовала 5 автомобилей. Известно, что вероятность того, что автомобиль попадет в аварию во время действия

Для решения данной задачи, давайте начнем с создания вероятностного распределения случайной величины "количество аварий с данными автомобилями за время действия арендного соглашения".

В этом случае, мы имеем пять автомобилей и вероятность аварии для каждого из них составляет 0,3. Поскольку случайные величины являются независимыми, мы можем использовать биномиальное распределение для определения вероятности количества аварий.

Пусть X будет случайной величиной, представляющей количество аварий. Вероятность того, что произойдет k аварий, можно выразить следующей формулой:

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

где n - количество испытаний (количество автомобилей), k - количество успехов (количество аварий), p - вероятность успеха (вероятность аварии).

Применяя эту формулу к нашей задаче, получим:

$$P(X=0)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0})\cdot {0.3}^0\cdot (1-0.3{)}^{5-0}=1\cdot 1\cdot {0.7}^5=0.16807$$
$$P(X=1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1})\cdot {0.3}^1\cdot (1-0.3{)}^{5-1}=5\cdot 0.3\cdot {0.7}^4=0.36015$$
$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {0.3}^2\cdot (1-0.3{)}^{5-2}=10\cdot {0.3}^2\cdot {0.7}^3=0.3087$$
$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {0.3}^3\cdot (1-0.3{)}^{5-3}=10\cdot {0.3}^3\cdot {0.7}^2=0.1323$$
$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {0.3}^4\cdot (1-0.3{)}^{5-4}=5\cdot {0.3}^4\cdot {0.7}^1=0.02835$$
$$P(X=5)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5})\cdot {0.3}^5\cdot (1-0.3{)}^{5-5}=1\cdot {0.3}^5\cdot {0.7}^0=0.00243$$

Таким образом, мы составили вероятностное распределение для случайной величины "количество аварий с данными автомобилями за время действия арендного соглашения":

$$X:\{0,1,2,3,4,5\}$$
$$P(X):\{0.16807,0.36015,0.3087,0.1323,0.02835,0.00243\}$$

Далее, рассчитаем среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Для биномиального распределения, среднее значение (μ) и дисперсия (σ²) можно рассчитать следующим образом:

$$\mu =n\cdot p$$
$$\sigma ²=n\cdot p\cdot (1-p)$$

Применяя эти формулы к нашей задаче, получим:
$$\mu =5\cdot 0.3=1.5$$
$$\sigma ²=5\cdot 0.3\cdot (1-0.3)=1.05$$
$$\sigma =\sqrt{1.05}\approx 1.0247$$

Таким образом, среднее значение составляет 1.5, дисперсия - 1.05, а среднее квадратическое отклонение около 1.0247.

Наконец, построим функцию распределения. Функция распределения (F(x)) представляет собой вероятность получения значения меньше или равного x для случайной величины.

Так как у нас есть уже расчитанные вероятности для значения случайной величины X от 0 до 5, мы можем построить таблицу функции распределения:

$$x=0,F(x)=0.16807$$
$$x=1,F(x)=0.52822$$
$$x=2,F(x)=0.83692$$
$$x=3,F(x)=0.96922$$
$$x=4,F(x)=0.99757$$
$$x=5,F(x)=1$$