Есть треугольник ABC, и на стороне AC есть точка D. Расстояние между точками A и D равно 5 см, а между точками D и

Для решения этой задачи нам понадобится использовать понятие пропорций и площади подобных треугольников.

Давайте обозначим точку пересечения отрезка DB с AB как точку E.

Так как треугольник ADC разделяется отрезком DB, мы можем сказать, что треугольники ADE и BDC подобны, так как у них соответствующие углы равны.

Используя это свойство подобных треугольников, мы можем составить пропорцию между сторонами треугольников ADE и BDC:

\(\frac{AD}{BD} = \frac{AE}{BC}\)

Мы знаем, что AD равно 5 см, поэтому пропорция примет следующий вид:

\(\frac{5}{BD} = \frac{AE}{BC}\)

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что его площадь составляет 162 см². Так как треугольники ADE и BDC подобны, их отношение площадей будет равно квадрату отношения их сторон:

\(\frac{{S_{ADE}}}{{S_{BDC}}} = \left(\frac{{AD}}{{BD}}\right)^2\)

Зная, что площадь треугольника ABC равна 162 см², мы можем записать:

\(\frac{{S_{ADE}}}{{S_{BDC}}} = \left(\frac{{5}}{{BD}}\right)^2\)

Из этого можно заключить, что

\(\frac{{S_{ADE}}}{{S_{BDC}}} = \frac{{25}}{{BD^2}}\)

Теперь мы должны найти площадь меньшего из образовавшихся треугольников, то есть площадь треугольника ADE.

Чтобы решить это, нам нужно выразить площадь треугольника ADE через известные данные.

Заметим, что треугольник ADE - это прямоугольный треугольник, поскольку мы знаем, что сторона AD является прямым отрезком.

Мы можем использовать следующую формулу для площади прямоугольного треугольника:

\(S = \frac{1}{2} \cdot \text{{основание}} \cdot \text{{высота}}\)

В данном случае основание треугольника ADE равно AD, а высота равна AE.

Таким образом, площадь треугольника ADE будет:

\(S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE\)

Теперь мы можем заменить AE в формуле площади подобных треугольников:

\(S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{25}{BD^2}\)

Приведем данное выражение к более удобному виду:

\(S_{ADE} = \frac{125}{2BD^2}\)

Таким образом, мы получили формулу для площади треугольника ADE.

Теперь остается только найти значение BD.

Мы знаем, что расстояние между точками D и C составляет 13 см, а расстояние между точками A и D - 5 см.

Таким образом, расстояние между точками A и C равно 18 см (5 + 13).

Вспомним, что треугольники ADE и BDC подобны, а значит у них соответственно равны стороны:

\(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BC}}\)

Подставим известные значения и найдем BD:

\(\frac{{5}}{{BD}} = \frac{{18}}{{BC}}\)

Перекрестно умножим и получим:

\(5 \cdot BC = 18 \cdot BD\)

Отсюда следует, что:

\(BC = 3.6 \cdot BD\)

Теперь у нас есть два уравнения:

\(S_{ADE} = \frac{125}{2BD^2}\)

\(BC = 3.6 \cdot BD\)

Мы можем решить второе уравнение относительно BC, а затем подставить его значение в первое уравнение.

\(BC = 3.6 \cdot BD\)

Заменим BC в первом уравнении:

\(S_{ADE} = \frac{125}{2BD^2} = \frac{125}{2(3.6 \cdot BD)^2}\)

Теперь можем решить уравнение и найти значение S_{ADE}.