Есть ли у функции

, где \(a\) и \(b\) - произвольные действительные числа, такие значения аргументов \(x\), при которых значение функции равно нулю?

Для того чтобы определить, есть ли у функции \((a^2 - b^2)x^2 - 2(a^2 + b^2)x + (a^2 - b^2)\) значения аргументов \(x\), при которых значение функции равно нулю, нужно решить квадратное уравнение \((a^2 - b^2)x^2 - 2(a^2 + b^2)x + (a^2 - b^2) = 0\).

Это уравнение является квадратным уравнением вида \(Ax^2 + Bx + C = 0\), где \(A = (a^2 - b^2)\), \(B = -2(a^2 + b^2)\) и \(C = (a^2 - b^2)\).

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся формулой дискриминанта и квадратным корнем.

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\) вычисляется по формуле \(D = B^2 - 4AC\).

Если дискриминант \(D > 0\), то у уравнения есть два различных корня.
Если дискриминант \(D = 0\), то у уравнения есть один корень (корень кратности два).
Если дискриминант \(D < 0\), то у уравнения нет действительных корней.

Подставив соответствующие значения \(A\), \(B\) и \(C\) в формулу для дискриминанта, получим:

\[D = (-2(a^2 + b^2))^2 - 4(a^2 - b^2)(a^2 - b^2)\].

После упрощения этого выражения, найдем дискриминант. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень и если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней.

Для школьников, которые не знакомы с формулой дискриминанта или методом решения квадратных уравнений, можно также предложить решить уравнение графически. Для этого нужно построить график функции \((a^2 - b^2)x^2 - 2(a^2 + b^2)x + (a^2 - b^2)\) на координатной плоскости и посмотреть, где он пересекает ось \(x\) (где значение функции равно нулю).

Следует отметить, что решение данного уравнения зависит от заданных значений \(a\) и \(b\). Задачу можно рассмотреть для конкретных чисел \(a\) и \(b\) или провести анализ для общего случая. Конкретное решение уравнения будет зависеть от значений \(a\) и \(b\), а также от произвольности выбора действительных чисел.