Если угол между диагоналями трапеции, противостоящий боковой стороне, составляет 60°, то какова сумма длин диагоналей

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства треугольников и трапеций.

Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD - основания трапеции, AC и BD - ее диагонали, а M - точка пересечения диагоналей.

Угол между диагоналями трапеции, противолежащий боковой стороне, составляет 60°. Обозначим этот угол как ∠AMD. Так как ∠AMD и ∠ACD являются вертикальными углами, они равны.

Таким образом, ∠ACD = 60°.

Также из свойств треугольника нам известно, что сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому ∠DAC и ∠DCB являются дополнительными углами.

Так как ∠ACD = ∠ADC, то ∠ADC = 60°.

Заметим, что в треугольнике АDM имеем два угла: ∠ADM и ∠AMD. Из суммы углов треугольника (180°) вычитаем эти два угла, чтобы найти третий угол ∠DAM. Значит, ∠DAM = 180° - 60° - 90° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник BDM. В нем также два известных угла: ∠BDM и ∠MDA. Вычитая их из суммы углов треугольника, найдем третий угол ∠DBM: ∠DBM = 180° - 60° - 90° = 30°.

Поскольку ∠DAM = ∠DBM, то треугольники ADM и BDM являются равнобедренными.

Из свойств равнобедренного треугольника нам известно, что основаниями равнобедренного треугольника являются отрезки, проведенные из вершины треугольника до середин оснований. То есть AM и BM являются основаниями треугольников ADM и BDM соответственно.

Теперь мы можем заметить, что треугольники ADM и BDM являются равновеликими. Значит, длина диагонали AC равна длине диагонали BD.

Обозначим высоту трапеции как h, а сумму длин диагоналей AC и BD как S. Из свойств треугольников, мы знаем, что высота трапеции AD перпендикулярна диагоналям AC и BD (типичное свойство) и разделяет их на две равные части.

То есть, AM = BM = S/2.

Поскольку высота трапеции AD является высотой к треугольнику ADM, то применим определение тангенса и оно даст нам соотношение между высотой, основанием и углом наклона трапеции:

\(h = \frac{{AM}}{{\tan ∠DAM}} = \frac{{S/2}}{{\tan 30°}} = \frac{{S}}{{2\sqrt{3}}}\),

Где \(\tan 30° = \frac{{1}}{{\sqrt{3}}})\).

Теперь у нас есть уравнение, связывающее высоту трапеции h и сумму длин диагоналей S:

\(h = \frac{{S}}{{2\sqrt{3}}}\).

Мы знаем, что высота трапеции составляет h, поэтому:

\(h = \frac{{S}}{{2\sqrt{3}}} = 10\). Таким образом получаем уравнение:

\(S = 20\sqrt{3}\) сантиметров.

Итак, сумма длин диагоналей трапеции составляет \(20\sqrt{3}\) сантиметров.