Найдите размер диаметра окружности, которая описывает около прямоугольного треугольника, если одна из его сторон равна

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Итак, пусть длина одного катета равна 20, а длина проекции другого катета на гипотенузу (которая является высотой треугольника) равна \(h\).

По теореме Пифагора получаем следующее уравнение:

\[20^2 + h^2 = c^2\]

где \(c\) - длина гипотенузы (диаметр окружности).

Теперь найдем \(h\). Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Площадь треугольника можно выразить двумя способами: через катеты или через гипотенузу и высоту.

Мы знаем, что длина одного катета равна 20, а длина высоты равна \(h\), поэтому площадь треугольника равна \( \frac{1}{2} \times 20 \times h \) или \( \frac{1}{2} \times c \times 20 \), поскольку высота равна проекции другого катета.

Таким образом, мы получаем уравнение:

\[ \frac{1}{2} \times 20 \times h = \frac{1}{2} \times c \times 20 \]

Упростив это уравнение, мы получаем:

\[ h = \frac{c}{2} \]

Теперь мы можем подставить это значение \(h\) в первое уравнение:

\[ 20^2 + \left( \frac{c}{2} \right)^2 = c^2 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 400 + \frac{c^2}{4} = c^2 \]

\[ 400 = \frac{3c^2}{4} \]

Теперь умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\), чтобы избавиться от дроби:

\[ \frac{4}{3} \times 400 = \frac{4}{3} \times \frac{3c^2}{4} \]

\[ \frac{1600}{3} = c^2 \]

Теперь найдем квадратный корень из обеих сторон:

\[ \sqrt{\frac{1600}{3}} = \sqrt{c^2} \]

\[ \frac{40}{\sqrt{3}} = c \]

Таким образом, длина диаметра окружности, описывающей около прямоугольного треугольника, равна \(\frac{40}{\sqrt{3}}\).