Найдите размер диаметра окружности, которая описывает около прямоугольного треугольника, если одна из его сторон равна 20, а длина проекции другой стороны на гипотенузу равна.
Скат
Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Итак, пусть длина одного катета равна 20, а длина проекции другого катета на гипотенузу (которая является высотой треугольника) равна \(h\).
По теореме Пифагора получаем следующее уравнение:
\[20^2 + h^2 = c^2\]
где \(c\) - длина гипотенузы (диаметр окружности).
Теперь найдем \(h\). Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Площадь треугольника можно выразить двумя способами: через катеты или через гипотенузу и высоту.
Мы знаем, что длина одного катета равна 20, а длина высоты равна \(h\), поэтому площадь треугольника равна \( \frac{1}{2} \times 20 \times h \) или \( \frac{1}{2} \times c \times 20 \), поскольку высота равна проекции другого катета.
Таким образом, мы получаем уравнение:
\[ \frac{1}{2} \times 20 \times h = \frac{1}{2} \times c \times 20 \]
Упростив это уравнение, мы получаем:
\[ h = \frac{c}{2} \]
Теперь мы можем подставить это значение \(h\) в первое уравнение:
\[ 20^2 + \left( \frac{c}{2} \right)^2 = c^2 \]
Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[ 400 + \frac{c^2}{4} = c^2 \]
\[ 400 = \frac{3c^2}{4} \]
Теперь умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\), чтобы избавиться от дроби:
\[ \frac{4}{3} \times 400 = \frac{4}{3} \times \frac{3c^2}{4} \]
\[ \frac{1600}{3} = c^2 \]
Теперь найдем квадратный корень из обеих сторон:
\[ \sqrt{\frac{1600}{3}} = \sqrt{c^2} \]
\[ \frac{40}{\sqrt{3}} = c \]
Таким образом, длина диаметра окружности, описывающей около прямоугольного треугольника, равна \(\frac{40}{\sqrt{3}}\).
Итак, пусть длина одного катета равна 20, а длина проекции другого катета на гипотенузу (которая является высотой треугольника) равна \(h\).
По теореме Пифагора получаем следующее уравнение:
\[20^2 + h^2 = c^2\]
где \(c\) - длина гипотенузы (диаметр окружности).
Теперь найдем \(h\). Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Площадь треугольника можно выразить двумя способами: через катеты или через гипотенузу и высоту.
Мы знаем, что длина одного катета равна 20, а длина высоты равна \(h\), поэтому площадь треугольника равна \( \frac{1}{2} \times 20 \times h \) или \( \frac{1}{2} \times c \times 20 \), поскольку высота равна проекции другого катета.
Таким образом, мы получаем уравнение:
\[ \frac{1}{2} \times 20 \times h = \frac{1}{2} \times c \times 20 \]
Упростив это уравнение, мы получаем:
\[ h = \frac{c}{2} \]
Теперь мы можем подставить это значение \(h\) в первое уравнение:
\[ 20^2 + \left( \frac{c}{2} \right)^2 = c^2 \]
Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[ 400 + \frac{c^2}{4} = c^2 \]
\[ 400 = \frac{3c^2}{4} \]
Теперь умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\), чтобы избавиться от дроби:
\[ \frac{4}{3} \times 400 = \frac{4}{3} \times \frac{3c^2}{4} \]
\[ \frac{1600}{3} = c^2 \]
Теперь найдем квадратный корень из обеих сторон:
\[ \sqrt{\frac{1600}{3}} = \sqrt{c^2} \]
\[ \frac{40}{\sqrt{3}} = c \]
Таким образом, длина диаметра окружности, описывающей около прямоугольного треугольника, равна \(\frac{40}{\sqrt{3}}\).
Знаешь ответ?