Если сядут все вместе, то места не хватит

Для решения данной задачи нам необходимо использовать принципы комбинаторики. Допустим, что у нас есть \(n\) людей, которые хотят сесть на \(m\) доступных мест. Нам нужно определить, сколько различных способов существует для распределения людей по местам.

Для начала рассмотрим ситуацию, когда порядок, в котором люди садятся, не имеет значения. То есть, мы не учитываем, кто сел на какое место. В таком случае, для каждого человека мы имеем \(m\) вариантов для выбора места. Таким образом, общее число распределений равно \(m^n\).

Однако, в данной задаче нам необходимо учесть ещё одно ограничение, а именно то, что если все люди сядут вместе, то места не хватит. Это значит, что хотя бы одно место останется незанятым.

Чтобы решить задачу с учетом данного ограничения, рассмотрим два случая:

1. Ни одно место не останется незанятым: в этом случае нам нужно выбрать \(m\) человек из \(n\) и разместить их на местах. Это можно сделать \(\binom{n}{m}\) способами, где \(\binom{n}{m}\) - биномиальный коэффициент.
2. Останется хотя бы одно незанятое место: тогда мы можем выбрать \(m\) человек из \(n\) и разместить их на местах, а оставшийся 1 человек не будет иметь место. Это можно сделать \(\binom{n}{m} \cdot (m-1)^n\) способами.

Чтобы получить общее количество способов, нужно сложить количество способов для первого и второго случаев. Таким образом, итоговая формула будет выглядеть следующим образом:

\[
\text{Количество способов} = \binom{n}{m} + \binom{n}{m} \cdot (m-1)^n
\]

Обратите внимание, что данная формула предполагает, что \(m \leq n\), так как в противном случае невозможно разместить всех людей на местах.

Надеюсь, данное объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте!