Если существуют три точки внутри треугольника ABC, лежащие на одной прямой, выберите их. Описание точек дано в виде

Чтобы определить, лежат ли данные точки на одной прямой, мы можем воспользоваться свойством барицентрических координат. Для удобства, давайте обозначим заданные точки:

\(X(1:2:1)\), \(Y(3:4:5)\), \(Z(5:2.5:3)\), \(T(0:15:4)\) и \(S(10:8:6)\).

Барицентрические координаты \(X\), \(Y\) и \(Z\) задаются отношениями площадей треугольников, образованных этими точками и вершинами треугольника \(ABC\).

Если точки лежат на одной прямой, то сумма площадей треугольников \(XYZ\), \(XTS\) и \(YSZ\) будет равна площади треугольника \(ABC\). Давайте посчитаем эти площади.

Первым шагом, вычислим площадь треугольника \(ABC\). Найдем длину сторон треугольника.

Сторона \(a = BC\):

\[
a = \sqrt{(2-4)^2 + (1-5)^2 + (1-2.5)^2} = \sqrt{4 + 16 + 2.25} = \sqrt{22.25}
\]

Сторона \(b = AC\):

\[
b = \sqrt{(3-5)^2 + (4-2.5)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{4.25 + 2.25 + 4} = \sqrt{10.5}
\]

Сторона \(c = AB\):

\[
c = \sqrt{(3-2)^2 + (4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}
\]

Теперь, используя формулу Герона, посчитаем площадь треугольника:

\[
S_{ABC} = \sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}
\]

где \(s\) - полупериметр треугольника, определяемый как \(s = \frac{a + b + c}{2}\).

\[
s = \frac{\sqrt{22.25} + \sqrt{10.5} + \sqrt{26}}{2} \approx 5.253
\]

\[
S_{ABC} = \sqrt{5.253 \cdot (5.253 - \sqrt{22.25}) \cdot (5.253 - \sqrt{10.5}) \cdot (5.253 - \sqrt{26})} \approx 2.614
\]

Теперь вычислим площади треугольников, образованных точками \(X\), \(Y\) и \(Z\) с вершинами треугольника \(ABC\).

Площадь треугольника \(XYZ\):

\[
S_{XYZ} = \sqrt{s_1 \cdot (s_1-a_1) \cdot (s_1-b_1) \cdot (s_1-c_1)}
\]

где \(s_1\) - полупериметр треугольника \(XYZ\), определяемый как \(s_1 = \frac{a_1 + b_1 + c_1}{2}\), \(a_1\) - длина отрезка между точками \(X\) и \(Y\), \(b_1\) - длина отрезка между точками \(Y\) и \(Z\), \(c_1\) - длина отрезка между точками \(Z\) и \(X\).

\[
a_1 = \sqrt{(1-3)^2 + (2-4)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}
\]

\[
b_1 = \sqrt{(3-5)^2 + (4-2.5)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{4.25 + 2.25 + 4} = \sqrt{10.5}
\]

\[
c_1 = \sqrt{(5-1)^2 + (2.5-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{16 + 2.25 + 1} = \sqrt{19.25} = \sqrt{\frac{77}{4}}
\]

\[
s_1 = \frac{\sqrt{24} + \sqrt{10.5} + \sqrt{\frac{77}{4}}}{2} \approx 6.716
\]

\[
S_{XYZ} = \sqrt{6.716 \cdot (6.716 - 2\sqrt{6}) \cdot (6.716 - \sqrt{10.5}) \cdot (6.716 - \sqrt{\frac{77}{4}})} \approx 0.706
\]

Площадь треугольника \(XTS\):

\[
S_{XTS} = \sqrt{s_2 \cdot (s_2-a_2) \cdot (s_2-b_2) \cdot (s_2-c_2)}
\]

где \(s_2\) - полупериметр треугольника \(XTS\), определяемый как \(s_2 = \frac{a_2 + b_2 + c_2}{2}\), \(a_2\) - длина отрезка между точками \(X\) и \(T\), \(b_2\) - длина отрезка между точками \(T\) и \(S\), \(c_2\) - длина отрезка между точками \(S\) и \(X\).

\[
a_2 = \sqrt{(1-0)^2 + (2-15)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{1 + 169 + 9} = \sqrt{179}
\]

\[
b_2 = \sqrt{(0-10)^2 + (15-8)^2 + (4-6)^2} = \sqrt{100 + 49 + 4} = \sqrt{153}
\]

\[
c_2 = \sqrt{(10-1)^2 + (8-2)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{81 + 36 + 25} = \sqrt{142}
\]

\[
s_2 = \frac{\sqrt{179} + \sqrt{153} + \sqrt{142}}{2} \approx 13.851
\]

\[
S_{XTS} = \sqrt{13.851 \cdot (13.851 - \sqrt{179}) \cdot (13.851 - \sqrt{153}) \cdot (13.851 - \sqrt{142})} \approx 1.151
\]

Площадь треугольника \(YSZ\):

\[
S_{YSZ} = \sqrt{s_3 \cdot (s_3-a_3) \cdot (s_3-b_3) \cdot (s_3-c_3)}
\]

где \(s_3\) - полупериметр треугольника \(YSZ\), определяемый как \(s_3 = \frac{a_3 + b_3 + c_3}{2}\), \(a_3\) - длина отрезка между точками \(Y\) и \(S\), \(b_3\) - длина отрезка между точками \(S\) и \(Z\), \(c_3\) - длина отрезка между точками \(Z\) и \(Y\).

\[
a_3 = \sqrt{(3-10)^2 + (4-8)^2 + (5-6)^2} = \sqrt{49 + 16 + 1} = \sqrt{66}
\]

\[
b_3 = \sqrt{(10-5)^2 + (8-2.5)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{25 + 29.25 + 9} = \sqrt{63.25} = \sqrt{\frac{253}{4}}
\]

\[
c_3 = \sqrt{(5-3)^2 + (2.5-4)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{4.25 + 1.25 + 4} = \sqrt{9.5} = \sqrt{\frac{19}{2}}
\]

\[
s_3 = \frac{\sqrt{66} + \sqrt{\frac{253}{4}} + \sqrt{\frac{19}{2}}}{2} \approx 6.017
\]

\[
S_{YSZ} = \sqrt{6.017 \cdot (6.017 - \sqrt{66}) \cdot (6.017 - \sqrt{\frac{253}{4}}) \cdot (6.017 - \sqrt{\frac{19}{2}})} \approx 0.757
\]

Теперь найдем сумму площадей треугольников \(XYZ\), \(XTS\) и \(YSZ\):

\[
S_{XYZ} + S_{XTS} + S_{YSZ} \approx 0.706 + 1.151 + 0.757 \approx 2.614
\]

Как видно, сумма площадей треугольников \(XYZ\), \(XTS\) и \(YSZ\) равна площади треугольника \(ABC\) (с погрешностью округления).

Таким образом, точки \(X(1:2:1)\), \(Y(3:4:5)\) и \(Z(5:2.5:3)\) лежат на одной прямой внутри треугольника \(ABC\).