Если просуммировать логарифмы по основанию 2 от каждого члена в прогрессии, состоящей из 50 положительных членов

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу для суммы логарифмов по основанию 2. Согласно этой формуле, сумма логарифмов от членов арифметической прогрессии с шагом \(d\) и первым членом \(a_1\) составляет:

\[\log_2(a_1) + \log_2(a_1+d) + \log_2(a_1+2d) + \ldots + \log_2(a_1+29d)\]

Теперь мы знаем, что сумма логарифмов всех 50 членов равна 1325, а сумма логарифмов первых 30 членов равна 495. Используя эти данные, мы можем написать два уравнения:

\[\begin{align*}
\log_2(a_1) + \log_2(a_2) + \log_2(a_3) + \ldots + \log_2(a_{30}) + \log_2(a_{31}) + \ldots + \log_2(a_{50}) &= 1325 \quad (1) \\
\log_2(a_1) + \log_2(a_2) + \log_2(a_3) + \ldots + \log_2(a_{30}) &= 495 \quad (2)
\end{align*}\]

Теперь, чтобы найти сумму первых 10 членов в прогрессии (то есть \(a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{10}\)), мы можем использовать следующий подход.

Давайте вычтем уравнение (2) из уравнения (1), чтобы избавиться от членов прогрессии, начиная с \(a_{31}\):

\[\begin{align*}
(\log_2(a_1) + \log_2(a_2) + \log_2(a_3) + \ldots + \log_2(a_{30}) + \log_2(a_{31}) + \ldots + \log_2(a_{50})) - (\log_2(a_1) + \log_2(a_2) + \log_2(a_3) + \ldots + \log_2(a_{30})) &= 1325 - 495 \\
\log_2(a_{31}) + \log_2(a_{32}) + \ldots + \log_2(a_{50}) &= 830
\end{align*}\]

Теперь мы знаем сумму логарифмов членов прогрессии, начиная с \(a_{31}\). Однако нас интересует сумма первых 10 членов.

Обратите внимание, что сумма первых 30 членов равна 495, а сумма логарифмов первых 10 членов равна той же величине. Это из-за того, что мы рассматриваем логарифмы от этих чисел.

Теперь, зная, что сумма логарифмов первых 30 членов равна 495, мы можем выразить сумму первых 10 членов, используя полученное ранее уравнение:

\[\begin{align*}
\log_2(a_1) + \log_2(a_2) + \ldots + \log_2(a_{10}) &= \log_2(a_1) + \log_2(a_2) + \ldots + \log_2(a_{30}) \\
&= 495
\end{align*}\]

Таким образом, сумма первых 10 членов в прогрессии равна 495.