Если основания трапеции ABCD равны AD=10 и BC=5, а диаметр окружности, которую можно описать около трапеции A1B1C1D1

Для начала, давайте разберемся с геометрическими свойствами трапеции и описанной окружности.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны. В нашем случае, параллельными сторонами являются AB и CD, а AD и BC — непараллельные стороны трапеции.

Теперь к описанной окружности. Описанная окружность трапеции — это окружность, которая проходит через все вершины трапеции. В нашем случае, это окружность, описанная вокруг трапеции A1B1C1D1, и ее диаметр A1D1.

У нас есть данные, что AD = 10 и BC = 5, а также A1B1 = 3.

Для решения задачи, воспользуемся свойством описанной окружности трапеции. В трапеции A1B1C1D1 диагонали AD и BC будут являться диаметрами окружности, описанной около трапеции.
То есть, AD1 = AD и B1C1 = BC.

Следовательно, AD1 = 10 и B1C1 = 5.

Теперь мы можем найти площадь трапеции A1B1C1D1, используя формулу для площади трапеции:

\[S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2}\]

где a и b - основания трапеции, а h - высота трапеции.

У нас уже есть одно основание A1B1 = 3. Чтобы найти другое основание, надо вычислить CD1. Заметим, что CD1 будет аналогично основанию BC, так как они параллельны.

Таким образом, CD1 = BC = 5.

Теперь у нас есть оба основания: A1B1 = 3 и CD1 = 5. Остается найти высоту трапеции h.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике A1D1C1, где A1C1 = AD1 = 10, а A1D1 = CD1 = 5.

По теореме Пифагора:

\[h^2 = AC^2 - AD^2\]
\[h^2 = 10^2 - 5^2\]
\[h^2 = 100 - 25\]
\[h^2 = 75\]

так как h - это длина, а не отрицательное значение, то \(h = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\).

Теперь, собирая все вместе, мы можем вычислить площадь трапеции A1B1C1D1:

\[S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2} = \frac{{(3 + 5) \cdot 5\sqrt{3}}}{2} = \frac{{8 \cdot 5\sqrt{3}}}{2} = 20\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь трапеции A1B1C1D1 равна \(20\sqrt{3}\).