Если на доске нарисован правильный шестиугольник, и Маша и Даша независимо друг от друга выбирают по одной его вершине

Давайте решим задачу по порядку.

а) Вероятность выбрать разные вершины можно рассчитать следующим образом. Поскольку у нас есть 6 вершин, каждый из выборов Маши и Даши может быть одним из шести вариантов. Общее число возможных комбинаций выбора Маши и Даши составляет 6 * 6 = 36.

Чтобы выяснить число благоприятных исходов (т.е. случаев, когда Маша и Даша выбирают разные вершины), нужно рассмотреть все возможные варианты этих выборов. Пусть у нас будет следующая таблица (A-F - вершины шестиугольника):

\[
\begin{{array}}{{cccccc}}
& \text{{Маша выбирает}} & A & B & C & D & E & F \\
\text{{Даша выбирает}} & & & & & & & \\
A & & & & & & & \\
B & & & & & & & \\
C & & & & & & & \\
D & & & & & & & \\
E & & & & & & & \\
F & & & & & & & \\
\end{{array}}
\]

Видим, что на диагонали таблицы, где Маша и Даша выбирают одну и ту же вершину, благоприятный исход не может произойти. Таким образом, имеем следующие благоприятные исходы:

\[
\begin{{align*}}
(AB), (AC), (AD), (AE), (AF) \\
(BA), (BC), (BD), (BE), (BF) \\
(CA), (CB), (CD), (CE), (CF) \\
(DA), (DB), (DC), (DE), (DF) \\
(EA), (EB), (EC), (ED), (EF) \\
(FA), (FB), (FC), (FD), (FE) \\
\end{{align*}}
\]

Всего получаем 30 благоприятных исходов выбора разных вершин. Поэтому вероятность выбора разных вершин равна:

\[
P(\text{{разные вершины}}) = \frac{{\text{{число благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее количество возможных исходов}}}} = \frac{{30}}{{36}} = \frac{{5}}{{6}}
\]

Таким образом, вероятность выбрать разные вершины составляет \(\frac{{5}}{{6}}\).

б) Теперь вычислим вероятность того, что отрезок, соединяющий выбранные вершины, окажется диагональю. Для этого рассмотрим, какие отрезки являются диагоналями правильного шестиугольника:

\[
\begin{{align*}}
AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF \\
\end{{align*}}
\]

Таким образом, имеем 15 благоприятных исходов. Вероятность того, что отрезок, соединяющий выбранные вершины, окажется диагональю, равна:

\[
P(\text{{диагональ}}) = \frac{{15}}{{36}} = \frac{{5}}{{12}}
\]

Таким образом, вероятность того, что отрезок, соединяющий выбранные вершины, окажется диагональю, составляет \(\frac{{5}}{{12}}\).