Если дан выпуклый четырёхугольник ABCD с равными диагоналями и точками K, L и N как серединами его сторон AB, BC

что стороны четырёхугольника ABCD имеют длины \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) соответственно?

Для решения задачи, нам понадобятся следующие наблюдения:

1) Так как диагонали четырёхугольника ABCD равны, значит, \(AC = BD\).
2) Точки \(K\), \(L\) и \(N\) - середины сторон \(AB\), \(BC\) и \(CD\) соответственно. Это значит, что \(AK = KB\), \(BL = LC\) и \(CN = ND\).

Используя эти наблюдения, мы можем найти стороны четырёхугольника KLMN. Рассмотрим сначала сторону \(KL\):

Так как \(K\) и \(L\) - середины стороны \(AB\), то длина \(AK\) равна половине длины \(AB\), то есть \(AK = \frac{a}{2}\).
Аналогично, длина \(BL\) равна половине длины \(BC\), то есть \(BL = \frac{b}{2}\).

Суммируя эти длины, мы получаем длину стороны \(KL\): \(KL = AK + BL = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a + b}{2}\).

Аналогично, мы можем найти длины оставшихся сторон четырёхугольника KLMN:

\(LM = \frac{b + c}{2}\)
\(MN = \frac{c + d}{2}\)
\(NK = \frac{d + a}{2}\)

Теперь, чтобы найти периметр четырёхугольника KLMN, сложим длины его сторон:

\[
KL + LM + MN + NK = \left(\frac{a + b}{2}\right) + \left(\frac{b + c}{2}\right) + \left(\frac{c + d}{2}\right) + \left(\frac{d + a}{2}\right)
\]
\[
= \frac{a + b + b + c + c + d + d + a}{2}
\]
\[
= \frac{2a + 2b + 2c + 2d}{2}
\]
\[
= a + b + c + d
\]

Таким образом, периметр четырёхугольника KLMN равен сумме длин всех его сторон \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\). Ответ: периметр четырёхугольника KLMN равен \(a + b + c + d\).