Если центр окружности, описанной около треугольника ABC, имеет радиус

Question

Геометрия: Если центр окружности, описанной около треугольника ABC, имеет радиус r и AC = r, то каково значение угла ABC?

Dimon · Accepted Answer

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами описанного окружности треугольника:

1. Утверждение: Центр окружности, описанной около треугольника, находится на перпендикулярной биссектрисе угла треугольника.
Обоснование: Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC, и K - середина дуги BC. Тогда, так как AK - биссектриса угла BAC, и BO - радиус окружности, проведенный через точку B, перпендикуляр к BC, то по свойству окружности центр окружности O лежит на перпендикулярной биссектрисе AK угла BAC.

2. Предположение: Треугольник ABC является равнобедренным.
Обоснование: Поскольку AC = AO - радиус окружности, проведенный через точку A, то треугольник ABC равнобедренный по свойству равенства боковых сторон их острого угла.

3. Утверждение: В равнобедренном треугольнике биссектриса угла основания является медианой и высотой треугольника.
Обоснование: Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то биссектриса угла основания BC является медианой и высотой.

Итак, из свойства 1 следует, что центр окружности O будет лежать на биссектрисе угла ABC. А из свойства 3 следует, что биссектриса угла ABC также является высотой треугольника. Таким образом, угол ABC будет прямым углом.

Ответ: Значение угла ABC равно 90 градусов.

Если центр окружности, описанной около треугольника ABC, имеет радиус r и AC = r, то каково значение угла ABC?

Dimon

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!