Если a, b и c находятся в одной плоскости и a является перпендикуляром к c, то (⊥ означает перпендикулярность

Данная задача требует рассмотрения геометрических свойств и отношений между векторами в плоскости. Обозначим векторы a, b и c. Согласно условию, вектор a перпендикулярен вектору c.

Перпендикулярные векторы обладают важным свойством - их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов определяется следующим образом: умножаем соответствующие координаты векторов и суммируем результаты.

Формула для скалярного произведения двух векторов a и c может быть записана в виде:
\[a \cdot c = a_x \cdot c_x + a_y \cdot c_y + a_z \cdot c_z,\]
где \(a_x, a_y, a_z\) и \(c_x, c_y, c_z\) - соответствующие координаты векторов a и c.

Используя условие перпендикулярности векторов a и c, мы можем записать:
\[a \cdot c = 0.\]

Теперь рассмотрим отношение между векторами a и b. Для того, чтобы векторы a, b и c были в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы вектор b был коллинеарен векторному произведению векторов a и c. Векторное произведение двух векторов определяется следующим образом:

\[\vec{a} \times \vec{c} = (a_y \cdot c_z - a_z \cdot c_y)\vec{i} + (a_z \cdot c_x - a_x \cdot c_z)\vec{j} + (a_x \cdot c_y - a_y \cdot c_x)\vec{k},\]

где \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) - единичные векторы по координатным осям.

Если векторное произведение \(\vec{a} \times \vec{c}\) равно нулевому вектору, то векторы a, b и c находятся в одной плоскости.

Для удобства расчетов можно использовать векторное произведение в виде определителя третьего порядка:
\[\vec{a} \times \vec{c} =
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
a_x & a_y & a_z \\
c_x & c_y & c_z \\
\end{vmatrix}.\]

Если значение определителя равно нулю, то векторы a, b и c находятся в одной плоскости.

Объединяя все полученные результаты, можем сформулировать ответ на задачу следующим образом:

Если векторы a, b и c находятся в одной плоскости и вектор a перпендикулярен вектору c, то выполняются следующие условия:
1. Скалярное произведение векторов a и c равно нулю: \(a \cdot c = 0\).
2. Векторное произведение векторов a и c равно нулевому вектору: \(\vec{a} \times \vec{c} = 0\) или значение определителя равно нулю:
\[
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
a_x & a_y & a_z \\
c_x & c_y & c_z \\
\end{vmatrix} = 0.
\]

Таким образом, можно сделать вывод, что существует связь между перпендикулярностью векторов a и c, и условием, когда векторы a, b и c находятся в одной плоскости.