Довести, що паралелограмом є фігура з вершинами в точках d, e, f і k, де d, e, f і k - середини ребер ab, mb, mc і ac тетраеда mabc, при умові, що bc = 42 см і am = 36 см. Також необхідно знайти периметр цього паралелограма.
Надежда
Для доведення того, що фігура з вершинами в точках d, e, f і k є паралелограмом, ми спочатку покажемо, що протилежні сторони фігури паралельні, а потім підтвердимо, що протилежні сторони рівні.
Для цього використаємо властивості середніх ліній у тетраеді mabc. Згідно з означенням паралелограма, протилежні сторони його повинні бути паралельними, тому нам треба показати, що діагональ df || ек і діагональ de || fk.
Спочатку знайдемо координати точок d, e, f і k. Ми знаємо, що d, e, f - середини ребер ab, mb і mc відповідно, а k - це середина ac. За властивостями середніх ліній, координати точки d можна знайти як середнє арифметичне координат точок a і b:
\[ x_d = \frac{{x_a + x_b}}{2}, \quad y_d = \frac{{y_a + y_b}}{2}, \quad z_d = \frac{{z_a + z_b}}{2} \]
Аналогічно, координати точок e, f і k можна знайти, застосувавши таку ж формулу.
Знайдемо координати точок d, e, f і k:
Координати точок a, b, c і m нам не відомі, але ми можемо використати вектори AB, MB, MC і AM, оскільки вони нам відомі. Напишемо формули для цих векторів:
\[ AB = \begin{pmatrix} x_b-x_a \\ y_b-y_a \\ z_b-z_a \end{pmatrix}, \quad MB = \begin{pmatrix} x_b-x_m \\ y_b-y_m \\ z_b-z_m \end{pmatrix}, \quad MC = \begin{pmatrix} x_c-x_m \\ y_c-y_m \\ z_c-z_m \end{pmatrix}, \quad AM = \begin{pmatrix} x_a-x_m \\ y_a-y_m \\ z_a-z_m \end{pmatrix} \]
За відомими значеннями bc = 42 і am = 36, ми можемо записати:
\[ BC = AB - MC, \quad AM = BC - MB \]
розкриючи ці формули, ми отримуємо:
\[ \begin{pmatrix} x_c-x_b \\ y_c-y_b \\ z_c-z_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_b-x_a \\ y_b-y_a \\ z_b-z_a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_c-x_m \\ y_c-y_m \\ z_c-z_m \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} x_a-x_m \\ y_a-y_m \\ z_a-z_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_c-x_b \\ y_c-y_b \\ z_c-z_b \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_b-x_m \\ y_b-y_m \\ z_b-z_m \end{pmatrix} \]
З цих рівнянь ми можемо виділити значення координат точкових величин:
\[ x_c = -x_a + 2x_b - x_m, \quad y_c = -y_a + 2y_b - y_m, \quad z_c = -z_a + 2z_b - z_m \]
\[ x_d = \frac{{x_a + x_b}}{2}, \quad y_d = \frac{{y_a + y_b}}{2}, \quad z_d = \frac{{z_a + z_b}}{2} \]
\[ x_e = \frac{{x_b + x_m}}{2}, \quad y_e = \frac{{y_b + y_m}}{2}, \quad z_e = \frac{{z_b + z_m}}{2} \]
\[ x_f = \frac{{x_c + x_m}}{2}, \quad y_f = \frac{{y_c + y_m}}{2}, \quad z_f = \frac{{z_c + z_m}}{2} \]
\[ x_k = \frac{{x_a + x_c}}{2}, \quad y_k = \frac{{y_a + y_c}}{2}, \quad z_k = \frac{{z_a + z_c}}{2} \]
Ми маємо всі необхідні координати, тому можемо перейти до перевірки паралельності протилежних сторін фігури.
Для цього обчислимо вектори DF і EK, і перевіримо, чи вони колінеарні з відповідними векторами ЕК і DF. Якщо вектори DF і EK будуть колінеарними, це підтвердить, що протилежні сторони діагоналей фігури паралельні.
Враховуючи координати точок d, e, f і k, ми можемо обчислити значення векторів DF і EK:
\[ DF = \begin{pmatrix} x_f-x_d \\ y_f-y_d \\ z_f-z_d \end{pmatrix}, \quad EK = \begin{pmatrix} x_k-x_e \\ y_k-y_e \\ z_k-z_e \end{pmatrix} \]
Підставимо отримані значення:
\[ DF = \begin{pmatrix} \frac{{x_c + x_m}}{2} - \frac{{x_a + x_b}}{2} \\ \frac{{y_c + y_m}}{2} - \frac{{y_a + y_b}}{2} \\ \frac{{z_c + z_m}}{2} - \frac{{z_a + z_b}}{2} \end{pmatrix} \]
\[ EK = \begin{pmatrix} \frac{{x_a + x_c}}{2} - \frac{{x_b + x_m}}{2} \\ \frac{{y_a + y_c}}{2} - \frac{{y_b + y_m}}{2} \\ \frac{{z_a + z_c}}{2} - \frac{{z_b + z_m}}{2} \end{pmatrix} \]
Тепер зробимо перевірку колінеарності. Якщо вектори DF і EK колінеарні, то їх скалярний добуток повинен дорівнювати нулю:
\[ DF \cdot EK = 0 \]
Після підстановки виразів для DF і EK, ми отримуємо:
\[ \left(\frac{{x_c + x_m}}{2} - \frac{{x_a + x_b}}{2}\right) \cdot \left(\frac{{x_a + x_c}}{2} - \frac{{x_b + x_m}}{2}\right) + \]
\[ \left(\frac{{y_c + y_m}}{2} - \frac{{y_a + y_b}}{2}\right) \cdot \left(\frac{{y_a + y_c}}{2} - \frac{{y_b + y_m}}{2}\right) + \]
\[ \left(\frac{{z_c + z_m}}{2} - \frac{{z_a + z_b}}{2}\right) \cdot \left(\frac{{z_a + z_c}}{2} - \frac{{z_b + z_m}}{2}\right) = 0 \]
Розкривши дужки і спрощуючи вираз, ми отримуємо:
\[ \frac{{(x_a - x_b)(x_c - x_m) + (y_a - y_b)(y_c - y_m) + (z_a - z_b)(z_c - z_m)}}{4} + \]
\[ \frac{{(x_a - x_b)(x_a - x_m) + (y_a - y_b)(y_a - y_m) + (z_a - z_b)(z_a - z_m)}}{4} + \]
\[ \frac{{(x_c - x_m)(x_c - x_m) + (y_c - y_m)(y_c - y_m) + (z_c - z_m)(z_c - z_m)}}{4} + \]
\[ \frac{{(x_c - x_m)(x_a - x_m) + (y_c - y_m)(y_a - y_m) + (z_c - z_m)(z_a - z_m)}}{4} = 0 \]
З іншого боку, обчислимо значення векторів ЕК і DF за формулами:
\[ DF = \begin{pmatrix} x_f-x_d \\ y_f-y_d \\ z_f-z_d \end{pmatrix} \]
\[ EK = \begin{pmatrix} x_k-x_e \\ y_k-y_e \\ z_k-z_e \end{pmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix} x_c-x_a \\ y_c-y_a \\ z_c-z_a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_m-x_b \\ y_m-y_b \\ z_m-z_b \end{pmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix} x_c-x_b \\ y_c-y_b \\ z_c-z_b \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_m-x_a \\ y_m-y_a \\ z_m-z_a \end{pmatrix} \]
За відомими значеннями координат щойно знайдених точок, ми можемо записати:
\[ DF = \begin{pmatrix} -x_a + 2x_b - x_m \\ -y_a + 2y_b - y_m \\ -z_a + 2z_b - z_m \end{pmatrix} \]
\[ EK = \begin{pmatrix} -x_a + 2x_c - x_m \\ -y_a + 2y_c - y_m \\ -z_a + 2z_c - z_m \end{pmatrix} \]
Таким чином, ми підтвердили, що значення скалярного добутку векторів DF і EK рівне нулю, що означає, що вони колінеарні. Це підтверджує паралельність протилежних сторін фігури.
Тепер перейдемо до підтвердження рівності протилежних сторін фігури. Для цього порівняємо довжини відповідних сторін фігури.
За відомим значенням bc = 42 см і am = 36 см, ми можемо записати:
\[ AB = BC + AC \]
\[ AB = DF + EK \]
Зведемо рівняння:
\[ \begin{pmatrix} x_b-x_a \\ y_b-y_a \\ z_b-z_a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_a + 2x_b - x_m \\ -y_a + 2y_b - y_m \\ -z_a + 2z_b - z_m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -x_a + 2x_c - x_m \\ -y_a + 2y_c - y_m \\ -z_a + 2z_c - z_m \end{pmatrix} \]
Розкривши дужки та спрощуючи вираз, ми отримуємо:
\[ \begin{pmatrix} x_b-x_a \\ y_b-y_a \\ z_b-z_a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2x_a+2x_b-2x_c+2x_m \\ -2y_a+2y_b-2y_c+2y_m \\ -2z_a+2z_b-2z_c+2z_m \end{pmatrix} \]
Порівнюючи координати векторів, ми можемо записати рівності:
\[ x_b - x_a = -2x_a + 2x_b - 2x_c + 2x_m \]
\[ y_b - y_a = -2y_a + 2y_b - 2y_c + 2y_m \]
\[ z_b - z_a = -2z_a + 2z_b - 2z_c + 2z_m \]
Спрощуючи рівності, ми отримуємо:
\[ 3x_a - x_b + 2x_c - 2x_m = 0 \]
\[ 3y_a - y_b + 2y_c - 2y_m = 0 \]
\[ 3z_a - z_b + 2z_c - 2z_m = 0 \]
Аналогічно, ми можемо отримати рівності для інших сторін фігури:
\[ x_d - x_c = 2x_a - 2x_b + 2x_c - 2x_m \]
\[ y_d - y_c = 2y_a - 2y_b + 2y_c - 2y_m \]
\[ z_d - z_c = 2z_a - 2z_b + 2z_c - 2z_m \]
\[ x_f - x_e = -x_a + 2x_b - 2x_c + 2x_m \]
\[ y_f - y_e = -y_a + 2y_b - 2y_c + 2y_m \]
\[ z_f - z_e = -z_a + 2z_b - 2z_c + 2z_m \]
\[ x_k - x_f = 2x_a - 2x_b + 2x_c - 2x_m \]
\[ y_k - y_f = 2y_a - 2y_b + 2y_c - 2y_m \]
\[ z_k - z_f = 2z_a - 2z_b + 2z_c - 2z_m \]
Тепер ми побачили, що рівності у всіх трьох парах протилежних сторін фігури співпадають. Це підтверджує рівність сторін фігури.
Отже, згідно з нашими обра
Для цього використаємо властивості середніх ліній у тетраеді mabc. Згідно з означенням паралелограма, протилежні сторони його повинні бути паралельними, тому нам треба показати, що діагональ df || ек і діагональ de || fk.
Спочатку знайдемо координати точок d, e, f і k. Ми знаємо, що d, e, f - середини ребер ab, mb і mc відповідно, а k - це середина ac. За властивостями середніх ліній, координати точки d можна знайти як середнє арифметичне координат точок a і b:
\[ x_d = \frac{{x_a + x_b}}{2}, \quad y_d = \frac{{y_a + y_b}}{2}, \quad z_d = \frac{{z_a + z_b}}{2} \]
Аналогічно, координати точок e, f і k можна знайти, застосувавши таку ж формулу.
Знайдемо координати точок d, e, f і k:
Координати точок a, b, c і m нам не відомі, але ми можемо використати вектори AB, MB, MC і AM, оскільки вони нам відомі. Напишемо формули для цих векторів:
\[ AB = \begin{pmatrix} x_b-x_a \\ y_b-y_a \\ z_b-z_a \end{pmatrix}, \quad MB = \begin{pmatrix} x_b-x_m \\ y_b-y_m \\ z_b-z_m \end{pmatrix}, \quad MC = \begin{pmatrix} x_c-x_m \\ y_c-y_m \\ z_c-z_m \end{pmatrix}, \quad AM = \begin{pmatrix} x_a-x_m \\ y_a-y_m \\ z_a-z_m \end{pmatrix} \]
За відомими значеннями bc = 42 і am = 36, ми можемо записати:
\[ BC = AB - MC, \quad AM = BC - MB \]
розкриючи ці формули, ми отримуємо:
\[ \begin{pmatrix} x_c-x_b \\ y_c-y_b \\ z_c-z_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_b-x_a \\ y_b-y_a \\ z_b-z_a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_c-x_m \\ y_c-y_m \\ z_c-z_m \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} x_a-x_m \\ y_a-y_m \\ z_a-z_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_c-x_b \\ y_c-y_b \\ z_c-z_b \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_b-x_m \\ y_b-y_m \\ z_b-z_m \end{pmatrix} \]
З цих рівнянь ми можемо виділити значення координат точкових величин:
\[ x_c = -x_a + 2x_b - x_m, \quad y_c = -y_a + 2y_b - y_m, \quad z_c = -z_a + 2z_b - z_m \]
\[ x_d = \frac{{x_a + x_b}}{2}, \quad y_d = \frac{{y_a + y_b}}{2}, \quad z_d = \frac{{z_a + z_b}}{2} \]
\[ x_e = \frac{{x_b + x_m}}{2}, \quad y_e = \frac{{y_b + y_m}}{2}, \quad z_e = \frac{{z_b + z_m}}{2} \]
\[ x_f = \frac{{x_c + x_m}}{2}, \quad y_f = \frac{{y_c + y_m}}{2}, \quad z_f = \frac{{z_c + z_m}}{2} \]
\[ x_k = \frac{{x_a + x_c}}{2}, \quad y_k = \frac{{y_a + y_c}}{2}, \quad z_k = \frac{{z_a + z_c}}{2} \]
Ми маємо всі необхідні координати, тому можемо перейти до перевірки паралельності протилежних сторін фігури.
Для цього обчислимо вектори DF і EK, і перевіримо, чи вони колінеарні з відповідними векторами ЕК і DF. Якщо вектори DF і EK будуть колінеарними, це підтвердить, що протилежні сторони діагоналей фігури паралельні.
Враховуючи координати точок d, e, f і k, ми можемо обчислити значення векторів DF і EK:
\[ DF = \begin{pmatrix} x_f-x_d \\ y_f-y_d \\ z_f-z_d \end{pmatrix}, \quad EK = \begin{pmatrix} x_k-x_e \\ y_k-y_e \\ z_k-z_e \end{pmatrix} \]
Підставимо отримані значення:
\[ DF = \begin{pmatrix} \frac{{x_c + x_m}}{2} - \frac{{x_a + x_b}}{2} \\ \frac{{y_c + y_m}}{2} - \frac{{y_a + y_b}}{2} \\ \frac{{z_c + z_m}}{2} - \frac{{z_a + z_b}}{2} \end{pmatrix} \]
\[ EK = \begin{pmatrix} \frac{{x_a + x_c}}{2} - \frac{{x_b + x_m}}{2} \\ \frac{{y_a + y_c}}{2} - \frac{{y_b + y_m}}{2} \\ \frac{{z_a + z_c}}{2} - \frac{{z_b + z_m}}{2} \end{pmatrix} \]
Тепер зробимо перевірку колінеарності. Якщо вектори DF і EK колінеарні, то їх скалярний добуток повинен дорівнювати нулю:
\[ DF \cdot EK = 0 \]
Після підстановки виразів для DF і EK, ми отримуємо:
\[ \left(\frac{{x_c + x_m}}{2} - \frac{{x_a + x_b}}{2}\right) \cdot \left(\frac{{x_a + x_c}}{2} - \frac{{x_b + x_m}}{2}\right) + \]
\[ \left(\frac{{y_c + y_m}}{2} - \frac{{y_a + y_b}}{2}\right) \cdot \left(\frac{{y_a + y_c}}{2} - \frac{{y_b + y_m}}{2}\right) + \]
\[ \left(\frac{{z_c + z_m}}{2} - \frac{{z_a + z_b}}{2}\right) \cdot \left(\frac{{z_a + z_c}}{2} - \frac{{z_b + z_m}}{2}\right) = 0 \]
Розкривши дужки і спрощуючи вираз, ми отримуємо:
\[ \frac{{(x_a - x_b)(x_c - x_m) + (y_a - y_b)(y_c - y_m) + (z_a - z_b)(z_c - z_m)}}{4} + \]
\[ \frac{{(x_a - x_b)(x_a - x_m) + (y_a - y_b)(y_a - y_m) + (z_a - z_b)(z_a - z_m)}}{4} + \]
\[ \frac{{(x_c - x_m)(x_c - x_m) + (y_c - y_m)(y_c - y_m) + (z_c - z_m)(z_c - z_m)}}{4} + \]
\[ \frac{{(x_c - x_m)(x_a - x_m) + (y_c - y_m)(y_a - y_m) + (z_c - z_m)(z_a - z_m)}}{4} = 0 \]
З іншого боку, обчислимо значення векторів ЕК і DF за формулами:
\[ DF = \begin{pmatrix} x_f-x_d \\ y_f-y_d \\ z_f-z_d \end{pmatrix} \]
\[ EK = \begin{pmatrix} x_k-x_e \\ y_k-y_e \\ z_k-z_e \end{pmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix} x_c-x_a \\ y_c-y_a \\ z_c-z_a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_m-x_b \\ y_m-y_b \\ z_m-z_b \end{pmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix} x_c-x_b \\ y_c-y_b \\ z_c-z_b \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_m-x_a \\ y_m-y_a \\ z_m-z_a \end{pmatrix} \]
За відомими значеннями координат щойно знайдених точок, ми можемо записати:
\[ DF = \begin{pmatrix} -x_a + 2x_b - x_m \\ -y_a + 2y_b - y_m \\ -z_a + 2z_b - z_m \end{pmatrix} \]
\[ EK = \begin{pmatrix} -x_a + 2x_c - x_m \\ -y_a + 2y_c - y_m \\ -z_a + 2z_c - z_m \end{pmatrix} \]
Таким чином, ми підтвердили, що значення скалярного добутку векторів DF і EK рівне нулю, що означає, що вони колінеарні. Це підтверджує паралельність протилежних сторін фігури.
Тепер перейдемо до підтвердження рівності протилежних сторін фігури. Для цього порівняємо довжини відповідних сторін фігури.
За відомим значенням bc = 42 см і am = 36 см, ми можемо записати:
\[ AB = BC + AC \]
\[ AB = DF + EK \]
Зведемо рівняння:
\[ \begin{pmatrix} x_b-x_a \\ y_b-y_a \\ z_b-z_a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_a + 2x_b - x_m \\ -y_a + 2y_b - y_m \\ -z_a + 2z_b - z_m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -x_a + 2x_c - x_m \\ -y_a + 2y_c - y_m \\ -z_a + 2z_c - z_m \end{pmatrix} \]
Розкривши дужки та спрощуючи вираз, ми отримуємо:
\[ \begin{pmatrix} x_b-x_a \\ y_b-y_a \\ z_b-z_a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2x_a+2x_b-2x_c+2x_m \\ -2y_a+2y_b-2y_c+2y_m \\ -2z_a+2z_b-2z_c+2z_m \end{pmatrix} \]
Порівнюючи координати векторів, ми можемо записати рівності:
\[ x_b - x_a = -2x_a + 2x_b - 2x_c + 2x_m \]
\[ y_b - y_a = -2y_a + 2y_b - 2y_c + 2y_m \]
\[ z_b - z_a = -2z_a + 2z_b - 2z_c + 2z_m \]
Спрощуючи рівності, ми отримуємо:
\[ 3x_a - x_b + 2x_c - 2x_m = 0 \]
\[ 3y_a - y_b + 2y_c - 2y_m = 0 \]
\[ 3z_a - z_b + 2z_c - 2z_m = 0 \]
Аналогічно, ми можемо отримати рівності для інших сторін фігури:
\[ x_d - x_c = 2x_a - 2x_b + 2x_c - 2x_m \]
\[ y_d - y_c = 2y_a - 2y_b + 2y_c - 2y_m \]
\[ z_d - z_c = 2z_a - 2z_b + 2z_c - 2z_m \]
\[ x_f - x_e = -x_a + 2x_b - 2x_c + 2x_m \]
\[ y_f - y_e = -y_a + 2y_b - 2y_c + 2y_m \]
\[ z_f - z_e = -z_a + 2z_b - 2z_c + 2z_m \]
\[ x_k - x_f = 2x_a - 2x_b + 2x_c - 2x_m \]
\[ y_k - y_f = 2y_a - 2y_b + 2y_c - 2y_m \]
\[ z_k - z_f = 2z_a - 2z_b + 2z_c - 2z_m \]
Тепер ми побачили, що рівності у всіх трьох парах протилежних сторін фігури співпадають. Це підтверджує рівність сторін фігури.
Отже, згідно з нашими обра
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
