Доведіть, що в паралелограмі діагональ, що прилягає до гострого кута, є меншою за іншу діагональ

Давайте обратимся к геометрическим свойствам параллелограмма, чтобы доказать данное утверждение.

У нас есть параллелограмм ABCD, где AB и CD - стороны параллелограмма, а AC и BD - диагонали. Предположим, что мы имеем дело с прямоугольным параллелограммом, то есть угол между диагоналями прямой.

Мы можем применить теорему косинусов к треугольнику ABC. Пусть угол между AB и AC равен α, а стороны AB и AC равны a и b соответственно. Тогда по теореме косинусов мы можем выразить сторону BC через a, b и α:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\alpha) \]

Теперь обратимся к треугольнику ADB. Здесь угол между AB и BD также равен α из-за свойств параллелограмма. Стороны AB и BD равны a, а сторона AD равна диагонали AC (обозначим ее через d). Снова применим теорему косинусов:

\[BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\alpha) \]

Теперь мы хотим сравнить длины диагоналей AC и BD. Если мы докажем, что \(BD^2 > AC^2\), то это автоматически означает, что BD > AC, так как мы сравниваем квадраты.

Теперь рассмотрим выражения для квадратов диагоналей:

\[BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\alpha) \]
\[AC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\alpha) \]

Мы видим, что в обоих выражениях присутствуют одинаковые слагаемые \(AB^2\) и \(-2 \cdot AB \cdot\cos(\alpha)\), которые мы можем вычеркнуть. Таким образом, нам остается сравнить следующие слагаемые:

\[AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\alpha) \text{ и } AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\alpha) \]

Поскольку AD и AC равны диагоналям, то мы можем записать это как:

\[d^2 - 2 \cdot AB \cdot d \cdot \cos(\alpha) \text{ и } b^2 - 2 \cdot AB \cdot b \cdot \cos(\alpha) \]

Теперь давайте вычтем из первого выражения второе:

\[(d^2 - 2 \cdot AB \cdot d \cdot \cos(\alpha)) - (b^2 - 2 \cdot AB \cdot b \cdot \cos(\alpha)) = d^2 - b^2 - 2 \cdot AB \cdot (d - b) \cdot \cos(\alpha) \]

Мы видим, что здесь присутствует разность квадратов \(d^2 - b^2\), которую мы можем дальше упростить:

\[d^2 - b^2 = (d-b)(d+b)\]

Теперь у нас остается сравнить следующие слагаемые:

\((d-b)(d+b) - 2 \cdot AB \cdot (d - b) \cdot \cos(\alpha)\)

Мы знаем, что \(d-b\) - это разность длин диагоналей. Поскольку разность длин диагоналей является положительной величиной, мы можем упростить выражение следующим образом:

\((d-b)(d+b) - 2 \cdot AB \cdot (d - b) \cdot \cos(\alpha) = (d-b)((d+b) - 2 \cdot AB \cdot \cos(\alpha)) \)

Здесь мы можем сделать важное наблюдение: чтобы доказать, что \(d^2 > b^2\), нам необходимо показать, что оба множителя (\(d-b\) и \((d+b) - 2 \cdot AB \cdot \cos(\alpha)\)) положительны или неположительны.

Первый множитель, \(d-b\), положителен, так как диагональ, прилегающая к острому углу параллелограмма, всегда больше другой диагонали.

Теперь давайте посмотрим на второй множитель, \((d+b) - 2 \cdot AB \cdot \cos(\alpha)\). Заметим, что \((d+b)\) является суммой длин диагоналей параллелограмма, то есть оно также положительно. Также заметим, что \(\cos(\alpha)\) - это косинус острого угла параллелограмма, который всегда находится в интервале [-1, 1]. Поскольку мы вычитаем из положительного числа произведение на коэффициент, не превышающий по модулю единицу, мы можем утверждать, что этот второй множитель также положителен или неположителен.

Таким образом, мы доказали, что оба множителя положительны или неположительны. Следовательно, их произведение будет положительным или неположительным, а значит \((d-b)((d+b) - 2 \cdot AB \cdot \cos(\alpha)) \geq 0\).

Это означает, что \(d^2 - b^2 \geq 0\), что в свою очередь означает \(d^2 \geq b^2\).

Таким образом, мы доказали, что диагональ, прилегающая к острому углу параллелограмма, является меньшей по длине, чем другая диагональ.