Доведіть, що площини AMB і DNC паралельні, утримуючись від того, що точки M і N знаходяться на одному боці

Для доказательства того, что плоскости AMB и DNC параллельны, мы можем использовать свойство параллельных прямых, которое гласит: если две прямые параллельны плоскости, то все прямые, лежащие в этих плоскостях, также параллельны.

Для начала, давайте посмотрим на параллелограм ABCD:

\[AB \parallel CD \quad (1)\]

Также дано, что точки M и N находятся на одной стороне этого параллелограма и не принадлежат плоскости ABCD. Переведем это в математическое выражение:

\[M, N \notin ABCD\]

Мы также знаем, что прямые AM и DN параллельны. Это может быть выражено следующим образом:

\[AM \parallel DN \quad (2)\]

Теперь предположим, что плоскости AMB и DNC не параллельны. Тогда существует прямая, пересекающая AMB и DNC. Пусть эта прямая будет называться L.

Так как AMB и DNC не параллельны, то они должны пересекаться по прямой L:

\[AMB \cap DNC = L\]

Поскольку прямая L пересекает их, то L должна пересекать и параллелограм ABCD. Это означает, что L должна пересекать прямые AB и CD:

\[L \cap AB \neq \emptyset\]
\[L \cap CD \neq \emptyset\]

Однако, согласно свойству параллельных прямых (1), прямые AB и CD параллельны. Из этого следует, что прямая L не может пересекать прямые AB и CD одновременно:

\[L \cap AB = \emptyset\]
\[L \cap CD = \emptyset\]

Это противоречие говорит о том, что наше предположение о том, что плоскости AMB и DNC не параллельны, неверно. Значит, плоскости AMB и DNC параллельны.