Допустим, что rHT – коэффициент корреляции между влажностью, H, и температурой, измеренной по Фаренгейту, F. Вам нужно

Хорошо, чтобы доказать, что значение коэффициента корреляции \(r_{HT}\) между влажностью \(H\) и температурой \(T\) не изменится при измерении температуры в шкале Цельсия, нам потребуется некоторый алгебраический анализ.

Для начала, давайте рассмотрим уравнение преобразования между шкалами Фаренгейта и Цельсия:

\[F = \frac{9}{5}T + 32\]

Теперь, предположим, что мы измеряем температуру в шкале Цельсия, обозначим ее как \(C\). Мы можем записать уравнение преобразования:

\[F = \frac{9}{5}C + 32\]

Теперь, давайте заменим \(F\) в исходном уравнении коэффициента корреляции, используя наше новое уравнение преобразования:

\[r_{HT} = \frac{\sum{(H_i - \overline{H})(\frac{9}{5}C_i + 32 - \overline{F})}}{\sqrt{\sum{(H_i - \overline{H})^2}\sum{((\frac{9}{5}C_i + 32 - \overline{F})^2)}}}\]

Где \(\overline{H}\) и \(\overline{F}\) обозначают средние значения влажности и температуры соответственно, а индекс \(i\) обозначает отдельные наблюдения.

Теперь давайте раскроем скобки в числителе и знаменателе:

\[r_{HT} = \frac{\sum{H_i(\frac{9}{5}C_i + 32) - \sum{H_i}\overline{F} - \overline{H}\sum{(\frac{9}{5}C_i + 32)} + n\overline{H}\overline{F}}}{\sqrt{\sum{H_i^2} - 2\overline{H}\sum{H_i} + n\overline{H}^2}\sqrt{\sum{(\frac{9}{5}C_i + 32)^2} - 2\overline{F}\sum{(\frac{9}{5}C_i + 32)} + n\overline{F}^2}}\]

Заметим, что здесь у нас есть суммы и индекс \(i\) по всем наблюдениям, обозначаемыми как \(n\). Теперь, давайте заметим, что эти суммы возникают из одного и того же набора данных независимо от того, измеряется температура в шкале Цельсия или Фаренгейта. То есть, суммы в числителе и знаменателе будут одинаковыми, независимо от выбора шкалы измерения температуры.

Таким образом, все слагаемые, содержащие индекс \(i\), будут одинаковыми в числителе и знаменателе и сократятся друг с другом. Это означает, что все члены, содержащие \(H_i\) и \(C_i\), будут сокращены, и мы получим:

\[r_{HT} = \frac{-\overline{H}\sum{\overline{F}} + n\overline{H}\overline{F}}{\sqrt{\sum{(\frac{9}{5}C_i + 32)^2} - 2\overline{F}\sum{(\frac{9}{5}C_i + 32)} + n\overline{F}^2}}\]

Теперь заметим, что в знаменателе у нас есть только температура \(C\) без каких-либо преобразований. Таким образом, знаменатель не изменится, если мы измерим температуру в шкале Цельсия вместо шкалы Фаренгейта.

Это означает, что значение коэффициента корреляции \(r_{HT}\) между влажностью \(H\) и температурой \(T\) останется неизменным, независимо от выбора шкалы измерения температуры.