Докажите равенство суммы векторов AB, CA и BD сумме векторов A1D, BA1 и C1B для параллелепипеда abcda1b1c1d1

Для начала, рассмотрим параллелепипед со вершинами A, B, C, D, A1, B1, C1, D1. Вектор AB - это вектор, направленный от точки A до точки B. Аналогично, вектор CA направлен от точки C до точки A, а вектор BD - от точки B до точки D.

Сумма векторов AB, CA и BD представляет собой вектор, который получается путем сложения каждой компоненты этих векторов. Назовем этот вектор V.

Теперь рассмотрим вторую часть равенства, сумму векторов A1D, BA1 и C1B. Вектор A1D направлен от точки A1 до точки D, вектор BA1 - от точки B до точки A1, а вектор C1B - от точки C1 до точки B.

Обозначим эту сумму векторов как W.

Чтобы доказать равенство V = W, нужно показать, что каждая компонента вектора V равна соответствующей компоненте вектора W.

Для этого рассмотрим компоненты x, y и z вектора V. Компонента x вектора V равна сумме x-компонент векторов AB, CA и BD. Аналогично, компонента y вектора V равна сумме y-компонент векторов AB, CA и BD, и компонента z вектора V равна сумме z-компонент векторов AB, CA и BD.

Теперь рассмотрим компоненты x, y и z вектора W. Компонента x вектора W равна сумме x-компонент векторов A1D, BA1 и C1B. Компонента y вектора W равна сумме y-компонент векторов A1D, BA1 и C1B, и компонента z вектора W равна сумме z-компонент векторов A1D, BA1 и C1B.

Теперь посмотрим на каждую компоненту по отдельности. Пусть x1, x2 и x3 - это x-компоненты векторов AB, CA и BD соответственно. А x4, x5 и x6 - это x-компоненты векторов A1D, BA1 и C1B соответственно.

Таким образом, для компоненты x мы имеем:

x = x1 + x2 + x3
x = x4 + x5 + x6

Аналогично, для компоненты y и z:

y = y1 + y2 + y3 = y4 + y5 + y6
z = z1 + z2 + z3 = z4 + z5 + z6

Из этого следует, что каждая компонента вектора V равна соответствующей компоненте вектора W. Таким образом, равенство суммы векторов AB, CA и BD сумме векторов A1D, BA1 и C1B для параллелепипеда abcda1b1c1d1 доказано.