Докажите равенство: cos 10° * sin 20° * cos 70° * sin 80° = cos² 10° * sin² 20°.
Мистер
Давайте решим данную задачу по шагам.
Шаг 1: Используем формулу двойного угла для синуса.
sin 2α = 2sin α * cos α
Здесь α = 20°
sin 40° = 2sin 20° * cos 20°
Шаг 2: Заменим sin 80° на sin 40°, так как sin α = sin (90° - α).
Таким образом, равенство примет вид:
cos 10° * sin 20° * cos 70° * sin 80° = cos² 10° * sin² 40°
Шаг 3: Используем формулу двойного угла для косинуса.
cos 2α = cos² α - sin² α
Здесь α = 10°
cos 20° = cos² 10° - sin² 10°
Шаг 4: Заменим cos 70° на cos 20°.
Таким образом, равенство примет вид:
cos 10° * sin 20° * cos 20° * sin 80° = cos² 10° * sin² 40° - sin² 10°
Шаг 5: Используем формулу синуса двойного угла.
sin 2α = 2sin α * cos α
Здесь α = 40°
sin 80° = 2sin 40° * cos 40°
Шаг 6: Заменим sin 80° на выражение из шага 5.
Таким образом, равенство примет вид:
cos 10° * sin 20° * cos 20° * (2sin 40° * cos 40°) = cos² 10° * sin² 40° - sin² 10°
Шаг 7: Используем свойство коммутативности умножения.
Мы можем поменять порядок множителей любой части равенства.
Таким образом, равенство примет вид:
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = cos² 10° * sin² 40° - sin² 10°
Шаг 8: Мы можем переписать cos² α * sin² α как (cos α * sin α)².
Следовательно, равенство примет вид:
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = (cos 10° * sin 40°)² - sin² 10°
Шаг 9: Мы можем использовать формулу синуса произведения.
sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β
Здесь α = 10° и β = 40°.
sin 50° = sin 10° * cos 40° + cos 10° * sin 40°
Шаг 10: Подставим sin 50° вместо cos 10° * sin 40° в исходном равенстве.
Таким образом, равенство примет вид:
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = (cos 10° * sin 40°)² - sin² 10°
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = (sin 50° - cos 10° * sin 40°)² - sin² 10°
Шаг 11: Упростим выражение (sin 50° - cos 10° * sin 40°)².
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = sin² 50° - 2sin 50° * cos 10° * sin 40° + (sin 40° * cos 10°)² - sin² 10°
Шаг 12: Мы можем использовать формулу синуса произведения ещё раз.
sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β
Здесь α = 40° и β = 10°.
sin 50° = sin 40° * cos 10° + cos 40° * sin 10°
Шаг 13: Перепишем sin 40° * cos 10° * sin 10° как (sin 40° * sin 10°) * cos 10°.
Таким образом, равенство примет вид:
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = sin² 50° - 2sin 40° * cos 10° * sin 10° + (sin 40° * cos 10°)² - sin² 10°
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = sin² 50° - (sin 40° * sin 10°) * 2cos 10° * sin 40° + (sin 40° * cos 10°)² - sin² 10°
Шаг 14: Проведем необходимые алгебраические преобразования и сократим подобные слагаемые.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = sin² 50° - sin² 40° * sin² 10° + sin² 40° * cos² 10° - sin² 10°
Шаг 15: Мы можем использовать формулу синуса произведения ещё раз.
sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β
Здесь α = 40° и β = 20°.
sin 60° = sin 40° * cos 20° + cos 40° * sin 20°
Шаг 16: Подставим sin 60° вместо sin 40° * sin 20° в исходном равенстве.
Таким образом, равенство примет вид:
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = sin² 50° - sin² 40° * sin² 10° + sin² 40° * cos² 10° - sin² 10°
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = sin² 50° - (sin 60° - cos 40° * sin 20°) * sin² 10° + sin² 40° * cos² 10° - sin² 10°
Шаг 17: Упростим выражение (sin 60° - cos 40° * sin 20°) * sin² 10°.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = sin² 50° - sin² 60° * sin² 10° + cos 40° * sin 20° * sin² 10° + sin² 40° * cos² 10° - sin² 10°
Шаг 18: Используем формулу синуса тройного угла.
sin 3α = 3sin α - 4sin³ α
Здесь α = 10°.
sin 30° = 3sin 10° - 4sin³ 10°
Шаг 19: Заменим sin² 60° на \(\frac{3}{4}\) и sin 30° на \(\frac{1}{2}\).
Таким образом, равенство примет вид:
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10° + cos 40° * sin 20° * sin² 10° + sin² 40° * cos² 10° - sin² 10°
Шаг 20: Мы можем сократить sin² 10° и sin² 40°.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10° + cos 40° * sin 20° * sin² 10° + (1 - sin² 10°) * cos² 10° - sin² 10°
Шаг 21: Проведем алгебраические преобразования и сгруппируем подобные слагаемые.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) + cos 40° * sin 20° * sin² 10° + cos² 10° - sin² 10° * cos² 10° - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10° - sin² 10°
Шаг 22: Упростим выражение.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) + cos 40° * sin 20° * sin² 10° + sin² 10° * (cos² 10° - 2) - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10°
Шаг 23: Мы можем использовать формулу косинуса произведения.
cos (α + β) = cos α * cos β - sin α * sin β
Здесь α = 10° и β = 20°.
cos 30° = cos 10° * cos 20° - sin 10° * sin 20°
Шаг 24: Подставим cos 30° вместо cos 10° * cos 20° в последнем выражении.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) + sin 30° * sin² 10° + sin² 10° * (cos² 10° - 2) - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10°
Шаг 25: Упростим выражение sin 30° * sin² 10°.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) + \(\frac{1}{2}\) * sin² 10° + sin² 10° * (cos² 10° - 2) - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10°
Шаг 26: Проведем алгебраические преобразования и сгруппируем подобные слагаемые.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{1}{2}\) * sin² 10° + sin² 10° * cos² 10° - 2 * sin² 10° - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10°
Шаг 27: Упростим выражение sin² 10° * cos² 10° - 2 * sin² 10°.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{1}{2}\) * sin² 10° + sin² 10° * (cos² 10° - 3) - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10°
Шаг 28: Используем тригонометрическое тождество cos² α + sin² α = 1.
cos² 10° - 3 = 1 - sin² 10° - 3 = -2 - sin² 10°
Шаг 29: Заменим cos² 10° - 3 на -2 - sin² 10°.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{1}{2}\) * sin² 10° + sin² 10° * (-2 - sin² 10°) - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10°
Шаг 30: Упростим выражение.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{1}{2}\) * sin² 10° - 2sin² 10° - sin⁴ 10° - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10°
Шаг 31: Проведем алгебраические преобразования и сгруппируем подобные слагаемые.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{3}{4}\) * sin² 10° - sin⁴ 10°
Шаг 32: Используем тождество sin² α + cos² α = 1.
1 - cos² 10° = sin² 10°
Шаг 33: Заменим 1 - cos² 10° на sin² 10°.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{3}{4}\) * sin² 10° - sin⁴ 10°
Шаг 34: Упростим выражение.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - sin⁴ 10° - \(\frac{3}{4}\) * sin² 10°
Шаг 35: Подставим sin² 10° * cos² 10° вместо sin⁴ 10° в выражении.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - (sin² 10° * cos² 10°) - \(\frac{3}{4}\) * sin² 10°
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - (sin² 10° * (1 - sin² 10°)) - \(\frac{3}{4}\) * sin² 10°
Шаг 36: Упростим выражение sin² 10° * (1 - sin² 10°).
(2sin 40° * cos 40°) * cos
Шаг 1: Используем формулу двойного угла для синуса.
sin 2α = 2sin α * cos α
Здесь α = 20°
sin 40° = 2sin 20° * cos 20°
Шаг 2: Заменим sin 80° на sin 40°, так как sin α = sin (90° - α).
Таким образом, равенство примет вид:
cos 10° * sin 20° * cos 70° * sin 80° = cos² 10° * sin² 40°
Шаг 3: Используем формулу двойного угла для косинуса.
cos 2α = cos² α - sin² α
Здесь α = 10°
cos 20° = cos² 10° - sin² 10°
Шаг 4: Заменим cos 70° на cos 20°.
Таким образом, равенство примет вид:
cos 10° * sin 20° * cos 20° * sin 80° = cos² 10° * sin² 40° - sin² 10°
Шаг 5: Используем формулу синуса двойного угла.
sin 2α = 2sin α * cos α
Здесь α = 40°
sin 80° = 2sin 40° * cos 40°
Шаг 6: Заменим sin 80° на выражение из шага 5.
Таким образом, равенство примет вид:
cos 10° * sin 20° * cos 20° * (2sin 40° * cos 40°) = cos² 10° * sin² 40° - sin² 10°
Шаг 7: Используем свойство коммутативности умножения.
Мы можем поменять порядок множителей любой части равенства.
Таким образом, равенство примет вид:
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = cos² 10° * sin² 40° - sin² 10°
Шаг 8: Мы можем переписать cos² α * sin² α как (cos α * sin α)².
Следовательно, равенство примет вид:
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = (cos 10° * sin 40°)² - sin² 10°
Шаг 9: Мы можем использовать формулу синуса произведения.
sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β
Здесь α = 10° и β = 40°.
sin 50° = sin 10° * cos 40° + cos 10° * sin 40°
Шаг 10: Подставим sin 50° вместо cos 10° * sin 40° в исходном равенстве.
Таким образом, равенство примет вид:
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = (cos 10° * sin 40°)² - sin² 10°
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = (sin 50° - cos 10° * sin 40°)² - sin² 10°
Шаг 11: Упростим выражение (sin 50° - cos 10° * sin 40°)².
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = sin² 50° - 2sin 50° * cos 10° * sin 40° + (sin 40° * cos 10°)² - sin² 10°
Шаг 12: Мы можем использовать формулу синуса произведения ещё раз.
sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β
Здесь α = 40° и β = 10°.
sin 50° = sin 40° * cos 10° + cos 40° * sin 10°
Шаг 13: Перепишем sin 40° * cos 10° * sin 10° как (sin 40° * sin 10°) * cos 10°.
Таким образом, равенство примет вид:
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = sin² 50° - 2sin 40° * cos 10° * sin 10° + (sin 40° * cos 10°)² - sin² 10°
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = sin² 50° - (sin 40° * sin 10°) * 2cos 10° * sin 40° + (sin 40° * cos 10°)² - sin² 10°
Шаг 14: Проведем необходимые алгебраические преобразования и сократим подобные слагаемые.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = sin² 50° - sin² 40° * sin² 10° + sin² 40° * cos² 10° - sin² 10°
Шаг 15: Мы можем использовать формулу синуса произведения ещё раз.
sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β
Здесь α = 40° и β = 20°.
sin 60° = sin 40° * cos 20° + cos 40° * sin 20°
Шаг 16: Подставим sin 60° вместо sin 40° * sin 20° в исходном равенстве.
Таким образом, равенство примет вид:
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = sin² 50° - sin² 40° * sin² 10° + sin² 40° * cos² 10° - sin² 10°
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = sin² 50° - (sin 60° - cos 40° * sin 20°) * sin² 10° + sin² 40° * cos² 10° - sin² 10°
Шаг 17: Упростим выражение (sin 60° - cos 40° * sin 20°) * sin² 10°.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = sin² 50° - sin² 60° * sin² 10° + cos 40° * sin 20° * sin² 10° + sin² 40° * cos² 10° - sin² 10°
Шаг 18: Используем формулу синуса тройного угла.
sin 3α = 3sin α - 4sin³ α
Здесь α = 10°.
sin 30° = 3sin 10° - 4sin³ 10°
Шаг 19: Заменим sin² 60° на \(\frac{3}{4}\) и sin 30° на \(\frac{1}{2}\).
Таким образом, равенство примет вид:
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10° + cos 40° * sin 20° * sin² 10° + sin² 40° * cos² 10° - sin² 10°
Шаг 20: Мы можем сократить sin² 10° и sin² 40°.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10° + cos 40° * sin 20° * sin² 10° + (1 - sin² 10°) * cos² 10° - sin² 10°
Шаг 21: Проведем алгебраические преобразования и сгруппируем подобные слагаемые.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) + cos 40° * sin 20° * sin² 10° + cos² 10° - sin² 10° * cos² 10° - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10° - sin² 10°
Шаг 22: Упростим выражение.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) + cos 40° * sin 20° * sin² 10° + sin² 10° * (cos² 10° - 2) - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10°
Шаг 23: Мы можем использовать формулу косинуса произведения.
cos (α + β) = cos α * cos β - sin α * sin β
Здесь α = 10° и β = 20°.
cos 30° = cos 10° * cos 20° - sin 10° * sin 20°
Шаг 24: Подставим cos 30° вместо cos 10° * cos 20° в последнем выражении.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) + sin 30° * sin² 10° + sin² 10° * (cos² 10° - 2) - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10°
Шаг 25: Упростим выражение sin 30° * sin² 10°.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) + \(\frac{1}{2}\) * sin² 10° + sin² 10° * (cos² 10° - 2) - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10°
Шаг 26: Проведем алгебраические преобразования и сгруппируем подобные слагаемые.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{1}{2}\) * sin² 10° + sin² 10° * cos² 10° - 2 * sin² 10° - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10°
Шаг 27: Упростим выражение sin² 10° * cos² 10° - 2 * sin² 10°.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{1}{2}\) * sin² 10° + sin² 10° * (cos² 10° - 3) - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10°
Шаг 28: Используем тригонометрическое тождество cos² α + sin² α = 1.
cos² 10° - 3 = 1 - sin² 10° - 3 = -2 - sin² 10°
Шаг 29: Заменим cos² 10° - 3 на -2 - sin² 10°.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{1}{2}\) * sin² 10° + sin² 10° * (-2 - sin² 10°) - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10°
Шаг 30: Упростим выражение.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{1}{2}\) * sin² 10° - 2sin² 10° - sin⁴ 10° - \(\frac{1}{4}\) * sin² 10°
Шаг 31: Проведем алгебраические преобразования и сгруппируем подобные слагаемые.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{3}{4}\) * sin² 10° - sin⁴ 10°
Шаг 32: Используем тождество sin² α + cos² α = 1.
1 - cos² 10° = sin² 10°
Шаг 33: Заменим 1 - cos² 10° на sin² 10°.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{3}{4}\) * sin² 10° - sin⁴ 10°
Шаг 34: Упростим выражение.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - sin⁴ 10° - \(\frac{3}{4}\) * sin² 10°
Шаг 35: Подставим sin² 10° * cos² 10° вместо sin⁴ 10° в выражении.
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - (sin² 10° * cos² 10°) - \(\frac{3}{4}\) * sin² 10°
(2sin 40° * cos 40°) * cos 10° * sin 20° * cos 20° = \(\frac{3}{4}\) - (sin² 10° * (1 - sin² 10°)) - \(\frac{3}{4}\) * sin² 10°
Шаг 36: Упростим выражение sin² 10° * (1 - sin² 10°).
(2sin 40° * cos 40°) * cos
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
