Докажите, что выражение (ad+bc)/bd + (bc+ad)/ac больше либо равно

Чтобы доказать, что выражение

\[
\frac{{ad+bc}}{{bd}} + \frac{{bc+ad}}{{ac}}
\]

больше или равно 2, мы можем воспользоваться методом общей деноминатора.

Для начала, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[
\frac{{ad+bc}}{{bd}} + \frac{{bc+ad}}{{ac}} = \frac{{ad}}{{bd}} + \frac{{bc}}{{bd}} + \frac{{bc}}{{ac}} + \frac{{ad}}{{ac}} = \frac{{ad+bc}}{{bd}} + \frac{{bc+ad}}{{ac}}.
\]

Теперь, чтобы получить общий знаменатель, перемножим знаменатели в обеих дробях. Получим:

\[
\frac{{ad+bc}}{{bd}} + \frac{{bc+ad}}{{ac}} = \frac{{(ad+bc)ac}}{{bdac}} + \frac{{(bc+ad)bd}}{{bdac}}.
\]

Теперь сложим эти две дроби:

\[
\frac{{(ad+bc)ac}}{{bdac}} + \frac{{(bc+ad)bd}}{{bdac}} = \frac{{(ad+bc)ac + (bc+ad)bd}}{{bdac}}.
\]

Раскроем скобки:

\[
\frac{{(ad+bc)ac + (bc+ad)bd}}{{bdac}} = \frac{{adac + bcbc + adbd + bcbd}}{{bdac}}.
\]

Мы можем сгруппировать слагаемые:

\[
\frac{{adac + bcbc + adbd + bcbd}}{{bdac}} = \frac{{ad(ac+bd) + bc(ac+bd)}}{{bdac}}.
\]

Заметим, что в числителе стоит выражение \(ac+bd\), которое можно вынести за скобки:

\[
\frac{{(ad+bc)(ac+bd)}}{{bdac}}.
\]

Теперь мы можем сократить выражение \(ac+bd\) в числителе с \(ac\) в знаменателе:

\[
\frac{{(ad+bc)(ac+bd)}}{{bdac}} = \frac{{(ad+bc)}}{{bd}}.
\]

В итоге, мы получили, что исходное выражение равно \(\frac{{(ad+bc)}}{{bd}}\).

Теперь, чтобы доказать, что это выражение больше или равно 2, рассмотрим два случая:

1. Пусть \(ad+bc\) больше или равно 2bd. Тогда:

\[
\frac{{(ad+bc)}}{{bd}} \geq \frac{{2bd}}{{bd}} = 2.
\]

2. Пусть \(ad+bc\) меньше чем 2bd. Тогда:

\[
\frac{{(ad+bc)}}{{bd}} < \frac{{2bd}}{{bd}} = 2.
\]

Таким образом, мы доказали, что выражение \(\frac{{ad+bc}}{{bd}} + \frac{{bc+ad}}{{ac}}\) больше или равно 2 в обоих случаях, и тем самым доказали исходное утверждение.