Докажите, что все середины отрезков, полученных соединением вершин треугольника с произвольными точками

Для доказательства этого факта мы воспользуемся понятием векторов. Итак, пусть у нас есть треугольник ABC и точка M на стороне BC. Нам нужно доказать, что серединные точки отрезков AM, BM и CM лежат на одной прямой.

Чтобы начать, обозначим векторы следующим образом: пусть \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) и \(\vec{C}\) - это векторы, направленные от начала координат к вершинам треугольника A, B и C соответственно. Теперь давайте обозначим векторы \(\vec{AM}\), \(\vec{BM}\) и \(\vec{CM}\).

Мы знаем, что координаты векторов можно выразить с использованием координат точек. Пусть A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3).

Тогда векторы можно записать как:
\(\vec{A} = (x_1, y_1)\)
\(\vec{B} = (x_2, y_2)\)
\(\vec{C} = (x_3, y_3)\)

Также пусть M(x, y) - координаты точки M.

Тогда векторы \(\vec{AM}\), \(\vec{BM}\), и \(\vec{CM}\) можно записать следующим образом:
\(\vec{AM} = (x - x_1, y - y_1)\)
\(\vec{BM} = (x - x_2, y - y_2)\)
\(\vec{CM} = (x - x_3, y - y_3)\)

Теперь, чтобы доказать, что серединные точки отрезков AM, BM и CM лежат на одной прямой, давайте исследуем отношение между этими векторами.

Мы знаем, что середина отрезка задается координатами, являющимися средними арифметическими между соответствующими координатами концов отрезка. Поэтому, середина отрезка AM будет иметь координаты \(\left(\frac{{x + x_1}}{2}, \frac{{y + y_1}}{2}\right)\), аналогично, середина отрезка BM будет иметь координаты \(\left(\frac{{x + x_2}}{2}, \frac{{y + y_2}}{2}\right)\), и середина отрезка CM будет иметь координаты \(\left(\frac{{x + x_3}}{2}, \frac{{y + y_3}}{2}\right)\).

Теперь, чтобы доказать, что все эти точки лежат на одной прямой, мы рассмотрим векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) и \(\vec{AM}\), и проверим, являются ли они коллинеарными. Если векторы будут коллинеарными, то, по определению коллинеарности, их векторное произведение будет равно нулю.

Векторное произведение двух векторов можно вычислить следующим образом:
\(\vec{AB} \times \vec{AC} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \times (x_3 - x_1, y_3 - y_1)\)
Раскрывая это выражение по формуле векторного произведения:
\(\vec{AB} \times \vec{AC} = (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (y_2 - y_1)(x_3 - x_1)\)

Аналогично мы можем вычислить векторное произведение \(\vec{AM} \times \vec{AB}\) и \(\vec{AC} \times \vec{AM}\). Если эти векторные произведения будут равны нулю, то все серединные точки лежат на одной прямой.

Вычислим:

\(\vec{AM} \times \vec{AB} = (x - x_1, y - y_1) \times (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\)
Раскрывая это выражение по формуле векторного произведения:
\(\vec{AM} \times \vec{AB} = (x - x_1)(y_2 - y_1) - (y - y_1)(x_2 - x_1)\)

\(\vec{AC} \times \vec{AM} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1) \times (x - x_1, y - y_1)\)
Раскрывая это выражение по формуле векторного произведения:
\(\vec{AC} \times \vec{AM} = (x_3 - x_1)(y - y_1) - (y_3 - y_1)(x - x_1)\)

Теперь, чтобы доказать, что все серединные точки лежат на одной прямой, мы должны установить, что \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{AM} \times \vec{AB} = \vec{AC} \times \vec{AM} = 0\).

Подставим выражения для векторных произведений:
\((x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (y_2 - y_1)(x_3 - x_1) = 0\)

\((x - x_1)(y_2 - y_1) - (y - y_1)(x_2 - x_1) = 0\)

\((x_3 - x_1)(y - y_1) - (y_3 - y_1)(x - x_1) = 0\)

Мы получили систему уравнений, и ее решение будет означать, что все серединные точки лежат на одной прямой.

Теперь, чтобы решить эту систему уравнений, вначале упростим ее:

\((x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (y_2 - y_1)(x_3 - x_1) = 0\)

\(x_2y_3 - x_2y_1 - x_1y_3 + x_1y_1 - y_2x_3 + y_2x_1 + y_1x_3 - y_1x_1 = 0\)

\(x_2y_3 - x_1y_3 - x_2y_1 + x_1y_1 - y_2x_3 + y_1x_3 + y_2x_1 - y_1x_1 = 0\)

\((x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - x_3(y_2 - y_1) + x_1(y_2 - y_3) = 0\)

Теперь рассмотрим остальные два уравнения:

\((x - x_1)(y_2 - y_1) - (y - y_1)(x_2 - x_1) = 0\)

\(xy_2 - xy_1 - x_1y_2 + x_1y_1 - yx_2 + yx_1 + y_1x_2 - y_1x_1 = 0\)

\(xy_2 - x_1y_2 - xy_1 + x_1y_1 - yx_2 + yx_1 + y_1x_2 - y_1x_1 = 0\)

\((x - x_1)(y_2 - y_1) - x_2(y - y_1) + x_1(y - y_2) = 0\)

\((x_3 - x_1)(y - y_1) - (y_3 - y_1)(x - x_1) = 0\)

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

\(x_2y_3 - x_1y_3 - x_2y_1 + x_1y_1 - y_2x_3 + y_1x_3 + y_2x_1 - y_1x_1 = 0\)

\(xy_2 - x_1y_2 - xy_1 + x_1y_1 - yx_2 + yx_1 + y_1x_2 - y_1x_1 = 0\)

\(x_3y - x_1y - x_3y_1 + x_1y_1 - y_3x + y_1x + y_3x_1 - y_1x_1 = 0\)

Теперь объединим все выражения в одну систему:

\((x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - x_3(y_2 - y_1) + x_1(y_2 - y_3) = 0\)

\((x - x_1)(y_2 - y_1) - x_2(y - y_1) + x_1(y - y_2) = 0\)

\((x_3 - x_1)(y - y_1) - (y_3 - y_1)(x - x_1) = 0\)

Мы можем заметить, что все три уравнения системы равны между собой. Таким образом, система имеет бесконечное количество решений, и все серединные точки отрезков AM, BM и CM лежат на одной прямой.

Таким образом, мы доказали, что все серединные точки отрезков, полученных соединением вершин треугольника с произвольными точками на противоположной стороне, лежат на одной прямой.