Докажите, что векторы a (2; 1; 1) и b (2; 2; -6) могут служить ребрами прямоугольного параллелепипеда. Найдите длину

Для доказательства того, что векторы a (2; 1; 1) и b (2; 2; -6) могут служить ребрами прямоугольного параллелепипеда, мы должны убедиться, что эти векторы линейно независимы и что их векторное произведение не равно нулевому вектору.

1. Проверка линейной независимости:
Для этого необходимо составить линейное уравнение формы:
к1 * a + к2 * b = 0,
где к1 и к2 - произвольные числа.

Составим и решим это уравнение:

\(к1 * (2; 1; 1) + к2 * (2; 2; -6) = (0; 0; 0)\):

2 * к1 + 2 * к2 = 0,
к1 + 2 * к2 = 0,
к1 - 6 * к2 = 0.

Решая данную систему уравнений, получаем уникальное решение к1 = 3 и к2 = -1.

Поскольку единственное решение для линейного уравнения равно (0; 0; 0), мы можем заключить, что векторы a и b линейно независимы.

2. Проверка векторного произведения:
Для этого вычислим векторное произведение векторов a и b и проверим, не является ли оно нулевым вектором.

Векторное произведение a x b можно вычислить по следующей формуле:

\(a \times b =
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
2 & 1 & 1 \\
2 & 2 & -6 \\
\end{vmatrix}\)

Вычисляя определитель, получаем следующее:

a x b = (1 * -6 - 2 * 2) * i - (2 * -6 - 2 * 2) * j + (2 * 2 - 2 * 1) * k

a x b = -10 * i + (-8) * j + 2 * k

Как мы видим, векторное произведение a x b не равно нулевому вектору, потому что коэффициенты i, j и k не равны нулю. Это говорит нам о том, что векторы a и b не коллинеарны.

Таким образом, поскольку векторы a и b являются линейно независимыми и их векторное произведение не равно нулевому вектору, мы можем заключить, что векторы a (2; 1; 1) и b (2; 2; -6) могут служить ребрами прямоугольного параллелепипеда.

Для нахождения длины третьего ребра нам необходимо использовать формулу длины вектора:

\(|c| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2}\)

где c - вектор третьего ребра, а \(c_1, c_2, c_3\) - его компоненты.

Так как ребро параллелепипеда образуется комбинацией обоих векторов a и b, мы можем записать вектор c следующим образом:

c = a + b = (2; 1; 1) + (2; 2; -6) = (4; 3; -5)

Теперь мы можем вычислить длину вектора c:

\(|c| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)

Таким образом, длина третьего ребра параллелепипеда равна \(5\sqrt{2}\).