Докажите, что в течение 100 дней существования вымершей марсианской цивилизации, всегда были дни, когда число

Хорошо, давайте докажем данное утверждение. Для этого воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая
Для начала, проверим это утверждение для первого дня существования марсианской цивилизации. Возьмем самый первый день и предположим, что на этот день число марсиан-жителей было нечетным. В этом случае базовый случай выполняется, так как первый день существования цивилизации нас удовлетворяет.

Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что утверждение верно для \(n\) дней, где \(n\) - произвольное натуральное число. То есть, по предположению индукции, всегда существует день с нечетным числом марсиан-жителей в течение первых \(n\) дней существования марсианской цивилизации.

Шаг 3: Доказательство для \(n+1\) дней
Теперь мы должны доказать, что это утверждение также верно и для \(n+1\) дней. Предположим, что утверждение не верно для \(n+1\) дней, то есть все дни существования марсианской цивилизации в течение первых \(n+1\) дней имели четное число марсиан-жителей.

Из предположения индукции мы знаем, что первые \(n\) дней имели дни с нечетным числом марсиан-жителей. Рассмотрим последний из этих \(n\) дней. После этого дня в течение одного дня число марсиан-жителей должно увеличиться или уменьшиться на одного (или оставаться неизменным). Если число марсиан-жителей увеличивается на одного, то оно становится нечетным, и если оно уменьшается на одного, то оно также становится нечетным.

Таким образом, в течение \(n+1\) дней всегда существует день с нечетным числом марсиан-жителей, что противоречит предположению о том, что все дни имеют четное число марсиан-жителей.

Шаг 4: Заключение
Мы успешно доказали, что в течение 100 дней существования вымершей марсианской цивилизации всегда были дни, когда число марсиан-жителей было нечетным.

Это доказательство основано на методе математической индукции, который позволяет утверждать, что данное утверждение верно для всех натуральных чисел.