Докажите, что треугольник pqrs, у которого вершинами являются точки p(0;0), q(1;2), r(5;0) и s(4;-2), является

Чтобы доказать, что треугольник \(pqrt\), у которого вершинами являются точки \(p(0;0)\), \(q(1;2)\), \(r(5;0)\) и \(s(4;-2)\), является прямоугольником, нам необходимо проделать несколько шагов.

1. Найдем длины сторон треугольника \(pqrt\).
Для этого нам нужно использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
Для стороны \(pq\):
\[pq = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
\[pq = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2}\]
\[pq = \sqrt{1^2 + 2^2}\]
\[pq = \sqrt{1 + 4}\]
\[pq = \sqrt{5}\]

Для стороны \(qr\):
\[qr = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
\[qr = \sqrt{(5 - 1)^2 + (0 - 2)^2}\]
\[qr = \sqrt{4^2 + (-2)^2}\]
\[qr = \sqrt{16 + 4}\]
\[qr = \sqrt{20}\]

Для стороны \(rp\):
\[rp = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
\[rp = \sqrt{(0 - 5)^2 + (0 - 0)^2}\]
\[rp = \sqrt{(-5)^2 + 0^2}\]
\[rp = \sqrt{25 + 0}\]
\[rp = \sqrt{25}\]
\[rp = 5\]

2. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника \(pqrt\).
Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
В нашем случае, треугольник уже может быть прямоугольным, так как у нас имеются стороны длиной \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{20}\) и \(5\). Давайте проверим, верно ли это:

\(\sqrt{5}^2 + \sqrt{20}^2 = 5^2\)
\(5 + 20 = 25\)
\(25 = 25\)

Полученное равенство подтверждает, что треугольник \(pqrt\) является прямоугольником.

Таким образом, мы доказали, что треугольник \(pqrt\) с вершинами в точках \(p(0;0)\), \(q(1;2)\), \(r(5;0)\) и \(s(4;-2)\) является прямоугольником.