Докажите, что среди шести произвольно расположенных точек на плоскости (никакие три из них не лежат на одной прямой

Чтобы доказать данную задачу, мы воспользуемся принципом Дирихле, который утверждает следующее: "Если \(n+1\) объектов размещены в \(n\) контейнерах, то как минимум в одном из контейнеров будет находиться не менее двух объектов".

В нашем случае, мы имеем 6 произвольно расположенных точек на плоскости, и никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Нам нужно доказать, что среди этих точек найдется треугольник, у которого все стороны одного цвета, если каждые две точки соединены отрезками красного или синего цвета.

Предположим, что выделим все возможные треугольники, которые можно образовать из этих 6 точек. Количество возможных треугольников равно \(C_6^3 = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\).

Теперь рассмотрим ребра треугольников. У каждого ребра может быть два цвета: либо оно красное, либо оно синее. Учитывая, что у треугольника три ребра, применим принцип Дирихле для цветов ребер.

Таким образом, мы имеем 20 треугольников и только 2 цвета для ребер. По принципу Дирихле, как минимум два из этих треугольников должны иметь все ребра одного цвета.

Пусть эти два треугольника будут:
- Треугольник 1: \(ABC\) с ребрами одного цвета, например, красными: \(AB\), \(BC\), \(AC\).
- Треугольник 2: \(DEF\) с ребрами одного цвета, например, синими: \(DE\), \(EF\), \(DF\).

Теперь рассмотрим возможные ситуации для точек, принадлежащих треугольникам \(ABC\) и \(DEF\):
1. Если точка из треугольника \(DEF\) принадлежит треугольнику \(ABC\), то эту точку можно рассматривать вместо одной из вершин треугольника \(ABC\), и мы получим треугольник с тремя сторонами одного цвета.
2. Если точка из треугольника \(DEF\) не принадлежит треугольнику \(ABC\), то соединим эту точку с тремя вершинами треугольника \(ABC\). Так как у нас есть сегменты одного цвета, то мы получим треугольник с тремя сторонами одного цвета.

Таким образом, независимо от положения точек на плоскости мы всегда можем найти треугольник с тремя сторонами одного цвета из шести произвольных точек, не лежащих на одной прямой.